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8.3空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理-2-知识梳理双基自测23416571.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有过该点的公共直线.两点不在一条直线上一条知识梳理-3-知识梳理双基自测23416572.直线与直线的位置关系位置关系的分类共面直线异面直线:不同在一个平面内平行相交任何(2)异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).②范围:0,π2.知识梳理-4-知识梳理双基自测23416573.公理4平行于的两条直线互相平行.同一条直线知识梳理-5-知识梳理双基自测23416574.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.相等或互补知识梳理-6-知识梳理双基自测23416575.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有、、三种情况.平行相交在平面内知识梳理-7-知识梳理双基自测23416576.平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有、两种情况.平行相交知识梳理-8-知识梳理双基自测23416577.常用结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.知识梳理-9-知识梳理双基自测2341657(3)确定平面的三个推论①推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.②推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.③推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(4)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.知识梳理2-10-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.()(4)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,那么就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.()(5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×知识梳理-11-知识梳理双基自测234152.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线与直线EF相交的是()A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1答案解析解析关闭只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面直线,故选D答案解析关闭D知识梳理-12-知识梳理双基自测234153.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题:①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β;②若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;③若α∥β,l∥α,则l∥β;④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.其中真命题有(写出所有真命题的序号).答案答案关闭②④知识梳理-13-知识梳理双基自测234154.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是.(填序号)①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b答案答案关闭③④知识梳理-14-知识梳理双基自测234155.(教材探究改编P46)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.答案解析解析关闭易知EH∥BD∥FG,且EH=12BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=12AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.(1)要使平行四边形EFGH为菱形,需满足EF=EH,即AC=BD;(2)要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案解析关闭(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD-15-考点1考点2考点3考点1平面的基本性质及应用例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点?-16-考点1考点2考点3证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B∥CD1,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EFCD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA.∴CE,D1F,DA三线共点.-17-考点1考点2考点3解题心得1.点线共面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合.2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.-18-考点1考点2考点3对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.-19-考点1考点2考点3证明(1)∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD.∴GH∥BD,∴EF∥GH.∴E,F,G,H四点共面.(2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴P,A,C三点共线.在△BCD中,𝐵𝐺𝐺𝐶=𝐷𝐻𝐻𝐶=12,-20-考点1考点2考点3考点2空间两条直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)(2017全国Ⅱ,理10)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.√32B.√155C.√105D.√33思考如何借助空间图形确定两直线位置关系?答案答案关闭(1)D(2)C-21-考点1考点2考点3解析:(1)l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.-22-考点1考点2考点3(2)方法一如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=√2,AB1=√5,则MN=12AB1=√52,NP=12BC1=√22.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形.在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1×-12=7,即AC=√7.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=√72.在△MQP中,可知MP=𝑀𝑄2+𝑃𝑄2=√112.在△PMN中,cos∠PNM=𝑀𝑁2+𝑁𝑃2-𝑃𝑀22·𝑀𝑁·𝑁𝑃=√522+√222-√11222×√52×√22=-√105,-23-考点1考点2考点3又异面直线所成角的范围为0,π2,故所求角的余弦值为√105.方法二把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.由题意可知BC1=√2,BD=22+12-2×2×1×cos60°=√3,C1D=AB1=√5.可知B𝐶12+BD2=C1D2,所以cos∠BC1D=√2√5=√105,故选C.-24-考点1考点2考点3解题心得解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”“至多”,否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置关系这类问题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验,也可作必要的合情推理.-25-考点1考点2考点3对点训练2(1)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.√32B.√22C.√33D.13A-26-考点1考点2考点3(2)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)②④-27-考点1考点2考点3解析：(1)(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为√32.-28-考点1考点2考点3(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.√32-29-考点1考点2考点3(2)题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,易知GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.所以题图②,④中GH与MN异面.-30-考点1考点2考点3考点3空间中线面的位置关系例3设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是()A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直思考如何借助空间图形确定线面位置关系?答案解析解析关闭如图,m是平面α的斜线,PA⊥α,l⊂α,l⊥AB,则l⊥m,平面α内所有与l平行的直线都垂直于m,故A错;由题意可知过m有且仅有一个平面PAB与平面α垂直,假设有两个平面都与平面α垂直,则这两个平面的交线m应与平面α垂直,与条件矛盾,故B正确;又l'⊄α,l'∥l,∴l'∥α,∵l⊥m,∴l'⊥m,故C错;又在平面α内取不在直线AB上的一点D,过D可作平面β与平面PAB平行,∴m∥β,∵平面PAB⊥α,∴平面β⊥α.答案解析关闭B-31-考点1考点2考点3解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不