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第十二章全等三角形12.3角平分线的性质第1课时角平分线的性质学习目标：1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线.难点：角平分线定理的应用.一、知识链接1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠=∠.过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段的长度表示点D到BC的距离.二、新知预习1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论PD[来源:学科网]PE第一次第二次第三次[来源:学,科,网Z,X,X,K]2.下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则PD＝PE的是（）ABCD3.猜想：角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的相等.三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分1.复习引入（见幻灯片3-5）一、要点探究探究点1：角平分线的尺规作图活动1：如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?活动2：已知∠AOB，类比平分角仪器的原理，用尺规作∠AOB的平分线．并书写主要步骤.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？注意:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握.针对训练已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线.探究点2：角平分线的性质画一画：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.证明结论：已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.要点归纳：角的平分线上的点到角的两边的相等.应用所需要的条件：（1）（2）（3）几何语言：∵OP是∠AOB的平分线，课堂探究教学备注配套PPT讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-8）3.探究点2新知讲授（见幻灯片9-18）∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴典例精析例1:已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.方法总结：先利用角平分线的性质定理得到对应线段相等，再利用这个条件证明我们需要证明的两个三角形全等.例2:如下左图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm..变式：如上右图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求△PDB的周长.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．针对训练1.如图1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD2.如图2，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm3.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm教学备注配套PPT讲授二、课堂小结1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．35.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.6.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.当堂检测角平分线尺规作图性质定理添加辅助线属于基本作图，必须熟练掌握一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等过角平分线上一点向两边作垂线段温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下载)教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片19-24）