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12.3离散型随机变量及其分布列知识梳理-2-知识梳理双基自测2311.随机变量在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a,b是常数,则η也是随机变量.4随机变量知识梳理-3-知识梳理双基自测2312.离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量,称为随机变量.4离散型知识梳理-4-知识梳理双基自测2313.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的,简称为X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i=1,2,…,n);②∑𝑖=1𝑛pi=p1+p2+…+pn=1.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn4概率分布列知识梳理-5-知识梳理双基自测23144.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为其中p=P(X=1)称为成功概率.(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.X01P1-pp恰有X件次品,则P(X=k)=C𝑀𝑘C𝑁-𝑀𝑛-𝑘C𝑁𝑛,k=0,1,2,…,m,即X01…mP𝐶M0𝐶N-Mn-0𝐶Nn𝐶M1𝐶N-Mn-1𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N-Mn-m𝐶Nn知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映射为实数.()(2)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.()(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.()(6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布.()X25P0.30.7答案答案关闭(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√(6)×知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.袋中有除颜色外其他完全相同的3个白球,5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数答案解析解析关闭选项A,B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.答案解析关闭C知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.设随机变量X的分布列为P(X=k)=m×23𝑘(k=1,2,3),则m的值为()A.1738B.2738C.1719D.2719答案解析解析关闭∵P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=m×23+m×232+m×233=38𝑚27=1,∴m=2738.答案解析关闭B知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.设随机变量X的概率分布列如下,则P(|X-2|=1)=()X1234P1614m13A.712B.12C.512D.16答案解析解析关闭由所有概率和为1,可得m=14.又P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=16+14=512.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧的,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为.答案解析解析关闭事件“X=4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P(X=4)=C91C32C123=27220.答案解析关闭27220-11-考点1考点2考点3考点1离散型随机变量的分布列的性质例1设随机变量X的分布列为P𝑋=𝑘5=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求a的值;(2)求P𝑋≥35;(3)求P110𝑋≤710.思考利用离散型随机变量的分布列的性质能解决哪些问题?-12-考点1考点2考点3解(1)由分布列的性质,得P𝑋=15+P𝑋=25+P𝑋=35+P𝑋=45+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a=115.(2)P𝑋≥35=P𝑋=35+P𝑋=45+P(X=1)=3×115+4×115+5×115=45.(3)P110𝑋≤710=P𝑋=15+P𝑋=25+P𝑋=35=115+215+315=25.-13-考点1考点2考点3解题心得1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,要注意检查每个概率值均为非负数.2.求随机变量在某个范围内的概率,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)设X是一个离散型随机变量,其分布列为下表,则q等于()X-101P121-2qq2A.1B.1±√22C.1-√22D.1+√22(2)设随机变量X的概率分布规律为P(X=k)=𝑘10(k=1,2,3,4),则P(1X≤3)等于()A.35B.12C.25D.710答案解析解析关闭(1)由分布列的性质知1-2𝑞≥0,𝑞2≥0,12+1-2𝑞+𝑞2=1,解得q=1-√22.(2)∵P(X=k)=𝑘10(k=1,2,3,4),∴P(X=2)=210,P(X=3)=310,∴P(1X≤3)=210+310=12.答案解析关闭(1)C(2)B-15-考点1考点2考点3考点2求离散型随机变量的分布列(多考向)考向一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列例2某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.思考如何求用频率代替概率的离散型随机变量的分布列?日销售量/件0123频数1595-16-考点1考点2考点3解(1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=120+520=310.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)=520=14;P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=120+920+520=34.所以X的分布列为:X23P1434-17-考点1考点2考点3考向二古典概型的离散型随机变量的分布列例3将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球,随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子放一个球,ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数.(1)求1号球恰好落入1号盒子的概率.(2)求ξ的分布列.思考如何求古典概型的离散型随机变量的分布列?-18-考点1考点2考点3解(1)设事件A表示“1号球恰好落入1号盒子”,P(A)=A33A44=14,故1号球恰好落入1号盒子的概率为14.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4,则P(ξ=0)=3×3A44=38,P(ξ=1)=4×2A44=13;P(ξ=2)=C42A44=14;P(ξ=4)=1A44=124.故随机变量ξ的分布列为ξ0124P381314124-19-考点1考点2考点3解题心得1.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取值所对应的概率,在求解时,常用随机变量取值的频率来估计概率.2.求古典概型的离散型随机变量的分布列,要注意应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的个数及事件A包含的基本事件的个数,然后应用古典概型的概率公式求概率.3.求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.-20-考点1考点2考点3对点训练2(1)某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息:-21-考点1考点2考点3①记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位:万元),求ξ的分布列和均值E(ξ);②如果你是牛奶厂的决策者,那么你选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多?(注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费)汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间/天在堵车的情况下到达城市乙所需时间/天堵车的概率运费/万元公路1231101.6公路214120.8-22-考点1考点2考点3(2)(2018江苏南通、徐州等六市调研)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击3格,记中奖的总金额为X元.①求概率P(X=600);②求X的概率分布及数学期望E(X).-23-考点1考点2考点3(1)解①若汽车走公路1,则不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(万元).故汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为ξ18.417.4P910110E(ξ)=18.4×910+17.4×110=18.3(万元).-24-考点1考点2考点3②设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η,则不堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(万元).故汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为η20.217.2P1212E(η)=20.2×12+17.2×12=18.7(万元).因为E(ξ)E(η),所以选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多.-25-考点1考点2考点3(2)解：①从3×3表格中随机不重复地点击3格,共有C93种不同情形,则事件“X=600”包含两类情形:第一类是3格各得奖200元;第二类是1格得奖300元,一格得奖200元,一格得奖100元.其中第一类包含C43种情形,第二类包含C11·C41·C41种情形.故P(X=600)=C43+C11·C41·C41C93=521.-26-考点1考点2考点3②X的所有可能取值为300,400,500,600,700,则P(X=300)=C43C93=484=121,P(X=400)=C41·C42C93=2484=27,P(X=500)=C11·C42+C41·C42C93=3084=514,P(X=700)=C11·C42C93=684=114.∴X的分布列为:X300400500600700P12127514521114∴E(X)=300×121+400×27+500×514+600×521+700×114=500(元).-27-考点1考点2考点3考点3超几何分布例4M公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分及以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”.(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有1人是“甲部门”中的概率是多少?(2)若从所有