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12.4二项分布与正态分布知识梳理-2-知识梳理双基自测23141.条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B,C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数,则P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴).P(B|A)+P(C|A)知识梳理-3-知识梳理双基自测23142.事件的相互独立性(1)定义:设A,B为两个事件,若P(AB)=,则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=,P(A|B)=P(A),P(AB)=.③如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=.②如果事件A与B相互独立,那么A与𝐵,𝐴与B,𝐴与𝐵也相互独立.P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)P(A1)P(A2)…P(An)知识梳理-4-知识梳理双基自测23143.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次试验之间相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=,此时称随机变量X服从,记作,并称p为成功概率.C𝑛𝑘pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)二项分布X~B(n,p)知识梳理-5-知识梳理双基自测23144.正态分布(1)正态曲线:函数其中实数μ和σ(σ0)为参数.我们称函数φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线在x轴的上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;④曲线与x轴之间的面积为1;⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.φμ,σ(x)=12π𝜎e-(𝑥-𝜇)22𝜎2,x∈(-∞,+∞),③曲线在x=μ处达到峰值1𝜎2π;知识梳理-6-知识梳理双基自测2314(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足,则称随机变量X服从正态分布,记作.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ-σX≤μ+σ)=;②P(μ-2σX≤μ+2σ)=;③P(μ-3σX≤μ+3σ)=.P(aX≤b)=𝑏𝑎φμ,σ(x)dxX~N(μ,σ2)0.68270.95450.9973知识梳理2-7-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√1.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.()(2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.()(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中的a=p,b=1-p.()(4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).()(5)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表示正态分布的均值和方差.()知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.2017年高考前第二次适应性训练结束后,对全市的英语成绩进行统计,发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合,据此估计在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是()A.16B.13C.12D.38答案解析解析关闭由题意,英语成绩超过95分的概率是12,故在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是C42·122·122=38,选D.答案解析关闭D知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.某射击手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是()A.710B.67C.47D.27答案解析解析关闭设“某次射中”为事件A,“随后一次射中”为事件B,则P(AB)=0.4,P(A)=0.7,故P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=47,故选C.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234154.将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,则n的最小值为()A.4B.5C.6D.71516答案解析解析关闭由题意,1-12𝑛≥1516,解得n≥4,故n的最小值为4.答案解析关闭A知识梳理-11-知识梳理双基自测234155.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为.(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σξμ+σ)≈68.27%,P(μ-2σξμ+2σ)≈95.45%)答案解析解析关闭由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为𝑃(𝜇-2𝜎𝜉𝜇+2𝜎)-𝑃(𝜇-𝜎𝜉𝜇+𝜎)2=95.4%-68.3%2=13.55%.答案解析关闭13.55%-12-考点1考点2考点3考点4考点1条件概率例1(1)已知袋子内有6个球,其中3个红球、3个白球,从中不放回地依次抽取2个球,则在已知第一次抽到红球的条件下,第二次也抽到红球的概率是()A.12B.35C.25D.15(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于()A.18B.14C.25D.12答案解析解析关闭(1)(方法一)由题意得,从6个球(其中3个红球、3个白球)中取出一个红球后,则袋子中还有5个球(2个红球和3个白球),所以再从中取出一个球,则该球是红球的概率为P=25.(方法二)设“第一次抽到红球”为事件A,“第二次抽到红球”为事件B,则P(A)=C31C51C61C51=12,P(AB)=C31C21C61C51=15,故P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=1512=25.(2)(方法一)P(A)=C32+C22C52=410=25,P(AB)=C22C52=110.由条件概率计算公式,得P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=110410=14.(方法二)n(A)=C32+C22=4,n(AB)=1,∴P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=14.答案解析关闭(1)C(2)B-13-考点1考点2考点3考点4解题心得求条件概率的基本方法有两个:(1)定义法,先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴),求P(B|A).(2)基本事件法,借古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴).-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1盒中有红球5个,蓝球11个,其中红球中有2个玻璃球,3个木质球;蓝球中有4个玻璃球,7个木质球.现从中任取一球,假设每个球被取到的可能性相同.若取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概率为.答案解析解析关闭记“取到蓝球”为事件A,“取到玻璃球”为事件B,则已知取到的球为玻璃球,它是蓝球的概率就是在B发生的条件下A发生的条件概率,记作P(A|B).因为P(AB)=416=14,P(B)=616=38,所以P(A|B)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=1438=23.答案解析关闭23-15-考点1考点2考点3考点4考点2相互独立事件同时发生的概率例2甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动,在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首,若有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮,该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是34,乙猜对歌名的概率是23,丙猜对歌名的概率是12,甲、乙、丙猜对与否互不影响.(1)求该小组未能进入第二轮的概率;(2)记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.思考如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有哪些常用的方法?-16-考点1考点2考点3考点4解：分别将甲、乙、丙第i次猜对歌名记为事件Ai,Bi,Ci(i=1,2,3),则Ai,Bi,Ci相互独立.(1)该小组未能进入第二轮的概率P=P(𝐴1)+P(A1𝐵1)+P(A1B1𝐶1)=P(𝐴1)+P(A1)P(𝐵1)+P(A1)P(B1)P(𝐶1)=14+34×13+34×23×12=34.-17-考点1考点2考点3考点4(2)乙猜歌曲次数ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=P(𝐴1)=14,P(ξ=1)=P(A1𝐵1)+P(A1B1𝐶1)+P(A1B1C1𝐴2)=P(A1)P(𝐵1)+P(A1)P(B1)P(𝐶1)+P(A1)P(B1)P(C1)P(𝐴2)=34×13+34×23×12+34×23×12×14=14+14+116=916,P(ξ=2)=P(A1B1C1A2𝐵2)+P(A1B1C1A2B2𝐶2)+P(A1B1C1A2B2C2𝐴3)=34×23×12×34×13+34×23×12×34×23×12+34×23×12×34×23×12×14=116+116+164=964,P(ξ=3)=P(A1B1C1A2B2C2A3)=34×23×12×34×23×12×34=364.∴ξ的分布列为ξ0123P14916964364E(ξ)=0×14+1×916+2×964+3×364=6364.-18-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后求概率.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.-19-考点1考点2考点3考点4对点训练2在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.作物产量/千克300500概率0.50.5作物市场价格/(元/千克)610概率0.40.6-20-考点1考点2考点3考点4解(1)设A表示事件“此作物产量为300千克”,B表示事件“此作物市场价格为6元/千克”.由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=800.P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2P(X=4000)=P(𝐴)P(𝐵)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P(𝐴)P(B)+P(A)P(𝐵)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,-21-考点1考点2考点3考点4(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3).3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2000元的概率为所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率