单调性与最大小值第2课时新

1.3.1单调性与最大（小）值（第2课时）()=2+3(,+).fxx【补充例题】证明函数在上是增函数1212(,+)xxxx解：，设任取，，12()()fxfx则12120，xxxx120()()fxfx12()()fxfx即()=2+3(,+).函数在上是增函数fxx任取值作差定号下结论121212=(2+3)(2+3)=22=2()xxxxxx增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.变形定义法证明单调性2()kpkVVp例：物理学中的玻意耳定律为正常数告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大.试用函数的单调性证明之.4、利用定义法证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：第一步：任取值。任取x1，x2∈D，且x1x2；第二步：作差、变形。将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，将差转换为积或商的形式，有利于判断差的符号。第三步：定号。确定差的符号。第四步：下结论（即根据定义指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．二、基础知识讲解P30探究：观察反比例函数的图象．(1)这个函数的定义域是什么？(2)它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．1yx1－1－1Oxy110(,)(0,+)yx解：函数在区间和上减函数1212,(0)xxxx(1)任取，，且设，12()()fxfx则12121212,00,xxxxxxxx(-,0)，且，，1211xx2112xxxx1212()()0()(),fxfxfxfx，即10(,)yx函数在区间上减函数.通分化为若干个可确定正负的变形技巧1：因式的乘积三、练习巩固212326()(,).()().()().()().()()fxaRAfafaBfafaCfafaDffa、已知函数在上是增函数，且，则（）C2201314(,).||...AyxByxCyDyxx、下列函数，在区间上是增函数的是（）A3230||[,]....yxABCD、函数在区间上是（）单调递减单调递增先减后增先增后减CP393().AymxbxR思考题：组第题探究一次函数的单调性，并证明你的结论42111112222()()....fxaxbRAaBaCaDa、函数是上的增函数，则（）D2521______?_______yxx、函数-的单调递增区间是单调递减区间是2621______?_______yxax、函数-的单调递增区间是单调递减区间是272114()(,)________yxaxa、函数在上是增函数，则的取值范围是1[,)1(,][,)a(,]a5(,]以y=-x2-2x为例，函数的图象有一个最高点（-1，1），(1)对于任意x∈R，都有其函数值f(x)1，(2)存在x=_____，有_____=1，我们就说f(x)有。xyoA22yxx1-1xyoB211yxx-13xyoC()yfxa思考：请观察这三个图象，找出点A、B、C的共同特征。观察比较以上三个图象，可以发现点A、B、C分别是三个函数图象的最高点。最大值为1二、新课讲解-1f(-1)≤设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。记为：ymax=f(x0)注：两个条件缺一不可（“任意”，“存在”）。1、最大值：二、新课讲解xyoA22yxx1-1二、新课讲解函数的图象有一个最高点（-1，1），(1)对于任意x∈R，都有其函数值f(x)≤1，(2)存在x=_____，有_____=1，我们就说f(x)有。最大值为1-1f(-1)4321yy=x2xO12-1-2函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0,0)，(1)对于任意x∈R，都有，(2)存在x=___，有__________，我们就说f(x)有。f(x)≥0最小值为00f(0)=02、最小值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足:(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；(2)存在x1∈I，使得f(x1)=N.那么，我们称N是函数y=f(x)的最小值。1、最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。ymax=f(x0)二、新课讲解ymin=f(x1)4321yxO12-1-2-1-334(1)由左边函数图象可得：函数最大值是____________；函数最小值是____________.4321yxO12-1-2(2)由左边函数图象可得：函数最大值是____________；函数最小值是____________.可存在多个自变量的值，其函数值等于最大（小）值.函数的最值是“全局性质”3120二、新课讲解321yxO12-1-2-1-334(3)由左边函数图象可得：函数最大值是____________；函数最小值是____________.(4)由左边函数图象可得：函数最大值是____________；函数最小值是____________.函数不一定都存在“最值”存在最大值的同时也不一定存在最小值，反之亦然.1=+-2，yxx321yxO12-1-23-31=+，yxxR不存在1不存在不存在二、新课讲解2491471831“”()..?hmtshtttm菊花烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时暴裂，如果烟花距地面的高度与时间之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到）例分析：函数的图象如右显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。三、例题讲解14715249..(.)t由图象可得：当时，函数有最大值为24491814729449(.).()(.)hm24914718..httt解：由二次函数的知识，1.5s29m答：烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，距地面的高度约为。2116149154..(.)tP32-5、设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数。如果f(x)在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个.最小值四、练习yxOcba[,]____________.acx在上，当时，函数有最值[,]____________.acx在上，当时，函数有最值b小b大yxOcba2223()+fxxx、求二次函数在下列区间内的最值。4321yxO12-1222+yxx(4)[0,3](3)[2,3]10(2)[,]1()R11.x当时，函数有最小值为；最大值不存在0215.xx当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为2235.xx当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为1135.xx当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为123[,]:()()().ab求二次函数在区间上的最值步骤判断开口方向；判断区间与对称轴位置关系；找出最值点20+()[,]yaxbxcapq二次函数：在闭区间上的最值2minmax()()bpqyfqyfpa当时，，2minmax()()bpqyfpyfqa当时，，2424minmaxmax(()())(()()())()fqfbacbpqyaayfqyfppfqfp若时若当，，或归纳：OxyqpOxyqpOxyqp22614(),fxxx判断函例数的单调性1212[2,6]xxxx解：任取，，且，12122211()()fxfxxx2112211()()()xxxx122xx由6得：211201010,xxxx，，12120()()()(),，即fxfxfxfx21()=[2,6].是上的减函数fxx22221max()()fxf因此，，226615min()().fxf.，求最值三、例题讲解单调函数在闭区间上的最值必在端点处取得变式练习21321()[,]____,_____fxx、函数在区间上的最大值最小值12321()[,]____,_____xfxx、函数在区间上的最大值最小值12231213()_____fx，函数的值域是1132[,]一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。1、最大值/最小值3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值，有最值的不一定同时有最大值最小值。2、函数的最值是“全局性质”4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性。五、小结归纳1、（作业本）P39习题1.3B组第1题六、作业