模式识别-最小平方误差算法

3.7最小平方误差算法3.7最小平方误差算法（leastmeansquareerror,LMSE；亦称Ho-Kashyap算法）上述的感知器算法、梯度算法、固定增量算法或其他类似方法，只有当模式类可分离时才收敛，在不可分的情况下，算法会来回摆动，始终不收敛。当一次次迭代而又不见收敛时，造成不收敛现象的原因分不清，有两种可能：a)迭代过程本身收敛缓慢b)模式本身不可分对可分模式收敛。对于类别不可分的情况也能指出来。LMSE算法特点：最小平方误差算法1.分类器的不等式方程NnNnnNNnnnnnnwxwxwxwwxwxwxwwxwxwxwXXX对对对00012211212222211111122111类1类20TiXW两类分类问题的解相当于求一组线性不等式的解。如果给出分属于，两个模式类的训练样本集，应满足：12},,2,1,{NiiX其中，Xi是规范化增广样本向量，。T21]1,,,,[iniiixxxX上式分开写为：01分类器的不等式方程写成矩阵形式为：令N×(n+1)的长方矩阵为X，则变为：0TiXW0XW011112112122221112110000111NnnnnNNnNNnnNnNnnNNnnnnnnwxwxwxwwxwxwxwwxwxwxwXXX对对对00012211212222211111122111类1类201分类器的不等式方程01分类器的不等式方程式中：T121,,,,nnW121TT1TT2T1nNNNiXXXXXX0XW011112112122221112110000111NnnnnNNnNNnn0为零向量感知器算法是通过解不等式组，求出W。0XW02LMSE算法2.LMSE算法1)原理的求解。式中：∴两式等价。T21,,,,,NibbbbB为各分量均为正值的矢量。LMSE算法把对满足XW0的求解，改为满足BXW①在方程组中当行数列数时，通常无解，称为矛盾方程组，一般求近似解。在模式识别中，通常训练样本数N总是大于模式的维数n，因此方程的个数(行数)模式向量的维数(列数)，是矛盾方程组，只能求近似解W*，即说明：极小BXW*02LMSE算法②LMSE算法的出发点：选择一个准则函数，使得当J达到最小值时，XW=B可得到近似解（最小二乘近似解）。③LMSE算法的思路：BWBXWXW、通过求准则函数极小找求解对求解对0转化为转化为准则函数定义为：221,,BXWBXWJ“最小二乘”：——最小：使方程组两边误差最小，也即使J最小。——二乘：次数为2，乘了两次最小平方（误差算法）1111121111221111111111NNinnnnNNnNininnbbbBXWNNiiNNnnNnNinnininnnbbbbwwxwxbwwxwxbwwxwxXWXWXWTT11T1111111111111向量各分量的平方和向量各分量的平方和22BXWNiiiNNbbb12T2T211T2XWXWXWBXW考察向量(XW－B)有：02LMSE算法可以看出：①当函数J达到最小值，等式XW=B有最优解。即又将问题转化为求准则函数极小值的问题。②因为J有两个变量W和B，有更多的自由度供选择求解，故可望改善算法的收敛速率。21T22121,,NiiibJXWBXWBXWXW=B的近似解也称“最优近似解”：——使方程组两边所有误差之和最小（即最优）的解。准则函数：02LMSE算法BXBXXXWBXXWXBXWX#T1TTTT0使J对W求最小，令，得：2)推导LMSE算法递推公式与问题相关的两个梯度：BXWXWTJBXWBXWB21J(3-46)(3-47)由(3-47)式可知：只要求出B，就可求出W。求递推公式：(1)求W的递推关系X为N×(n+1)长方阵，X#为(n+1)×N长方阵。T1T#XXXX称为X的伪逆，式中：(3-45)0WJ02LMSE算法(2)求B(k+1)的迭代式kJckkBBBBB1kkkkckkBXWBXWBB21(3-46)代入，得cc2kkkeBXW令，定义(3-49)kkckkeeBB1(3-50)(3-46)BXWBXWB21J利用梯度算法公式有：kJckk,102LMSE算法kkBBXXXXX#T1TkckckeXeXBX###(3)求W(k+1)的迭代式将(3-50)代入(3-47)式W=X#B有：kkckkkeeBXBXW##11kkkBXWXXXeXT1T#=0kckeXW#0kkkeBXW(3-49)kkckkeeBB1(3-50)02LMSE算法11#BXWkkkBXWekckkeXWW#1kkckkeeBB111#kkBXW总结：设初值B(1)，各分量均为正值，括号中数字代表迭代次数。……W(k+1)、B(k+1)互相独立，先后次序无关。……求出B，W后，再迭代出下一个e，从而计算出新的B，W。11#BXWkkkBXWekkckkeeBB1或另一算法：先算B(k+1)，再算W(k+1)。02LMSE算法3）模式类别可分性判别②如果e(k)0，表明XW(k)B(k)0，隐含有解。继续迭代，可使e(k)→0。③如果e(k)0（所有分量为负数或零，但不全为零），停止迭代，无解。此时若继续迭代，数据不再发生变化。可以证明：当模式类线性可分，且校正系数c满足时，该算法收敛，可求得解W。10c理论上不能证明该算法到底需要迭代多少步才能达到收敛，通常在每次迭代计算后检查一下XW(k)和误差向量e(k)，从而可以判断是否收敛。①如果e(k)=0，表明XW(k)=B(k)0，有解。分以下几种情况：02LMSE算法111kkkBXWekkWW1kkee1kkBB111#kkBXW情况③分析：kkckkeeBB1e(k)002LMSE算法综上所述：只有当e(k)中有大于零的分量时，才需要继续迭代，一旦e(k)的全部分量只有0和负数，则立即停止。事实上，往往早在e(k)全部分量都达到非正值以前，就能看出其中有些分量向正值变化得极慢，可及早采取对策。通过反证法可以证明：在线性可分情况下，算法进行过程中不会出现e(k)的分量全为负的情况；若出现e(k)的分量全为负，则说明模式类线性不可分。4)LMSE算法描述(1)根据N个分属于两类的样本，写出规范化增广样本矩阵X。(2)求X的伪逆矩阵。T1T#XXXX02LMSE算法……(3)设置初值c和B(1)，c为正的校正增量，B(1)的各分量大于零，迭代次数k=1。开始迭代：计算11#BXW(4)计算，进行可分性判别。kkkBXWe如果e(k)0，线性可分，若进入(5)可使e(k)→0，得最优解。如果e(k)0，线性不可分，停止迭代，无解，算法结束。如果e(k)=0，线性可分，解为W(k)，算法结束。否则，说明e(k)的各分量值有正有负，进入(5)。02LMSE算法kckkeXWW#1kkckkeeBB1kkckkeeBB111#kkBXW(5)计算W(k+1)和B(k+1)。方法1：分别计算方法2：先计算再计算迭代次数k加1，返回(4)。3.算法特点(1)算法尽管略为复杂一些，但提供了线性可分的测试特征。(2)同时利用N个训练样本，同时修改W和B，故收敛速度快。(3)计算矩阵复杂，但可用迭代算法计算。1TXX02LMSE算法例3.11已知两类模式训练样本：TT11,0,0,0:TT21,1,0,1:1x2x01211试用LMSE算法求解权向量。111101110100X解：(1)写出规范化增广样本矩阵：02LMSE算法Aij是aij的代数余子式，注意两者的行和列的标号互换。T1T#XXXX(2)求伪逆矩阵422221212111101110100111110101100TXX*11AAA求逆矩阵：333231232221131211aaaaaaaaaA332313232212312111*AAAAAAAAAA若，则|A|——A的行列式A*——A的伴随矩阵02LMSE算法422221212TXX划去aij所在的行和列的元素，余下元素构成的行列式做aij的余子式，记作Mij，将叫做元素aij的代数余子式。例：代数余子式定义：ijijAMji1-323112113231121132231-aaaaaaaaA322240204413222402041T1TXXXX44884416422221212TXX行列式:333231232221131211aaaaaaaaaA*11AAA02LMSE算法1113222222224111111010110032224020441#X1024084111111113222222224111#BXW(3)取和c=1开始迭代：T1,1,1,11B.0000111111111111102111101110100111BXWe121xdX解为W(1)，判断函数为：T1T#XXXX02LMSE算法图示如下：1x2x0120.511121xdX02LMSE算法例3.12