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中国人民大学附属中学2.1.1合情推理(归纳推理)（一）归纳推理：考察以下事例中的推理：（1）1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着，通过对蚕病飞研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是有细菌引起的；（2）我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似，而中亚西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；（3）因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，五边形的内角和是180°×(5－2)，……，所以n边形的内角和是180°×(n－2)。从上述事例中可以发现，其中的推理得到的结论都是可能为真的判断，像这种前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理。在学习等差数列时，我们是这样推导首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式的：a1=a1+0d；a2=a1+1×d；a3=a1+2×d；a4=a1+3×d；…………等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n－1)d.这种根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程。下面，我们通过一个实例来得出归纳推理的一般步骤。例如，当你看到这样的几个关系式：10=3+7，20=3+17；30=13+17，时，你会发现：3，7，13，17，这些数字都是奇质数，偶数10，20，30都可以表示为两个奇质数的和。其它的偶数又怎样呢？它们也有类似地性质吗？显然，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6=3+3，接下去，还有8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，这样下去总是对的吗？无论如何，所观察到的个别情况，可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇质数之和。（二）归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真。例1．用推理的形式表示等差数列1，3，5，……，(2n－1)，……的前n项和Sn的归纳过程。解：对等差数列1，3，5，……，(2n－1)，……的前1，2，3，4，5，6项和分别进行计算：S1=1=12；S2=1+3=4=22；S3=1+3+5=9=32；S4=1+3+5+7=16=42；S5=1+3+5+7+9=25=52；S6=1+3+5+7+9+11=36=62；结论：等差数列1，3，5，…,(2n－1),…的前n项和Sn=n2.例2．设f(n)=n2+n+41，n∈N+，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，……，f(10)的值，同时作出归纳，并用n=40验证猜想是否正确。解：f(1)=12+1+41=43;f(2)=22+2+41=47;f(3)=32+3+41=53;f(4)=42+4+41=61；f(5)=52+5+41=71；f(6)=62+6+41=83；f(7)=72+7+41=97；f(8)=82+8+41=113；f(9)=92+9+41=131;f(10)=102+10+41=151;得到43，47，53，61，71，83，97，113,131，151都是质数。结论：当n取任何正整数时，f(n)=n2+n+41的值都是质数。因为当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41，所以f(40)是合数，因此上面有归纳推理得到的猜想不正确。虽然归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学的发现是十分有用的。观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一。(三)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。（四）观察与实验归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，然后才能进行归纳推理。而搜集事实材料则必须运用经验的认识方法，主要是观察和实验的方法。（1）观察人们在对象或现象的自然状态下，有目的地通过感官去研究对象或现象，这就叫做观察。为了使观察获得的材料比较可靠和比较准确，还应注意两个问题：(1)必须坚持观察的客观性和全面性，切忌主观的随意性和片面性。(2)尽可能地借助于有关的仪器设备来进行，以克服感觉器官认识的局限性。（2）实验人们在控制对象或现象的条件下有目的地通过感官去认识对象或现象，就叫做实验。具体而言，实验是人们根据研究的目的，利用科学方法、设备，人为地控制或模拟自然现象的条件，排除干扰因素，突出主要因素，在相对的纯粹状态下研究自然现象的认识活动。例如，要研究某一植物在某种条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况，人们可以在实验室中，人为地控制大自然对植物生态的影响，只就酸碱度这一特定的因素进行考察。实验是自然科学研究中最基本的研究方法。它和观察比较起来有以下优点：(a)实验可根据研究工作的需要，使被研究的对象或现象在极其纯粹的状态下再现出来，并借助于人工的隔离条件，使其依照一定的顺序，不断地重复出现。这就便于人们观察某种对象或现象的发生过程以及对象或现象间的因果关系。例如，我们看见铁球与鸡毛从塔顶上同时往下落，在空气中它们下落的速度是不一样的。这与空气有关还是无关?这是由于空气的阻力作用还是由于地球的引力作用呢？在自然状态下，由于许许多多的对象或现象错综复杂地交织在一起，我们是不能弄清楚这些问题的。为此，我们可以做“自由落体”的实验：把铁球和鸡毛都放在抽掉空气的圆筒形的透明容器中，看它们从同一高度同时下落的速度是否一样。这样，就容易发现铁球与鸡毛在空气中下落的速度不一样与空气阻力作用的关系。在这个实验中，我们人为地抽掉了空气这个因素，排除偶然因素的干扰，“纯化”了被研究的现象。(b)可以把容易消失的自然现象或在自然条件下不易出现的自然现象，人为地引发出来，并使之重复出现，以便于人们进行观察。例如，天空中的闪电，一闪即逝，不易观察出究竟来。我们在物理实验室里可以采取人工模拟的办法，引发闪电现象的重复出现，以便反复地进行观察。