演绎推理数学选修22第2章推理与证明人教B版

中国人民大学附属中学2.1.2演绎推理DCBA我们先看一个简单的例子。命题：等腰三角形的两底角相等。已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C。证明：作∠A的角平分线AD，则∠BAD=∠CAD，又因为AB=AC，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（SAS），因此∠B=∠C。分析上述推理过程，可以看出，推理的每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形对应角相等”）推出特殊性命题（如“∠B=∠C”）。这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。例如，由真命题a，b遵循演绎推理规则得出命题q，则q必然为真。1．假言推理假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。假言推理分为充分条件假言推理和必要条件假言推理两种。（1）充分条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的前件，结论就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，结论就否定大前提的前件。（2）必要条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的后件，结论就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，结论就要否定大前提的后件。例1．设m为实数，求证方程x2－2mx+m－1=0有相异的两实数根。证明：因为如果一元二次方程的判别式△0，那么这个方程有相异的两实数根,现在已知方程x2－2mx+m－1=0的判别式△=4m2－4(m－1)=(2m－1)2+30，因此方程x2－2mx+m－1=0有相异的两实数根。这个证明虽然简单，只有一步推理，但它包含有两个步骤：（1）确定命题“如果一元二次方程的判别式△0（p），那么这个方程有相异的两实数根（q）”为真；（2）判断方程x2－2mx+m－1=0的判别式△0（p）为真，得出已知的方程有相异的两实数根。（q）为真。用符号表示这种推理规则就是“如果pq，p真，则q真”。这种推理规则叫做假言推理。假言推理的本质是，通过证明结论的充分条件为真，判断结论为真。2．三段论推理三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。又因为EF平面BCD，BD平面BCD，所以EF//平面BCD。例2．已知空间四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF//平面BCD.FEDCBA证明：连接BD，因为点E、F分别是AB、AD的中点，所以EF//BD，在此证明中，第一步实际上暗含着一个一般性原理：三角形的中位线平行于第三边。这是大前提。把一般性原理用于特殊情况，便得到了结论EF//BD。而对特殊的△ABD，EF是中位线，这是小前提。第二步，同样暗含这一个一般性原理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。这是大前提。把一般性原理用于特殊情况，便得到了结论EF//平面BCD。而EF//BD，EF平面BCD，BD平面BCD，这是小前提，用符号表示，这两步都遵循如下推理规则：“如果bc，由ab，则ac.”这种推理规则，叫做三段论推理。3．传递性关系推理传递性关系推理指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性质进行推演的。可分为纯关系推理和混合关系推理。纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括对称性关系推理、反对称性关系推理、传递性关系推理和反传递性关系推理。（1）对称性关系推理是根据关系的对称性进行的推理；（2）反对称性关系推理是根据关系的反对称性进行的推理；（3）传递性关系推理是根据关系的传递性进行的推理；（4）反传递性关系推理是根据关系的反传递性进行的推理。例3．设a，b，c为正数，求证：111()()9abcabc≥证明：首先，我们知道2abab≥111()()111111()()()()abcabcababccabcabc2()1()()1abcababcab14()21cabcab≥2()5549abab≥在这个证明过程中，关键步骤是：（1）原式≥2()5abab（2）2()554abab≥所以原式≥9.这里用到的推理规则是“如果aRb,bRc,则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系。这种推理规则叫做传递性关系推理。又如由a//b，b//c，推出a//c，也是传递性关系推理。4．完全归纳推理完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类事物都具有某种性质。例4．证明函数f(x)=x6－x3+x2－x+1的值恒为正数。证明：当x0时，f(x)的各项都为正数，因此，当x0时，f(x)为正数；当0≤x≤1时，f(x)=x6+x2(1－x)+(1－x)0；当x1时，f(x)=x3(x2－1)+x(x－1)+10，综上所述，函数f(x)的值恒为正数。在这个证明中，对x的所有可能的取值都给出了f(x)为正数的证明，所以断定f(x)恒为正数。又如对所有的n(3≤n≤10)，证明n边形的内角和为(n－2)π，就是完全归纳证明。这种把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理。