综合法与分析法数学选修22第2章推理与证明人教B版

中国人民大学附属中学2.2.1综合法与分析法1．综合法综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。具体地说，综合法是从已知条件出法，经过逐步的推理，最后达到待证结论。分析法则是从待证结论出法，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。例1．求证：5321232log19log19log19证明：因为1loglogabba所以左式=log195+2log193+3log192=log19(5×32×23)=log19360.因为log19360log19361=2，所以5321232log19log19log19例2．如图，设四面体PABC中,∠ABC=90°，PA=PB=PC，D是AC的中点，求证：PD垂直于△ABC所在的平面。PADCB证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA=DB=DC，又因为PA=PB=PC，而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边,所以△PDA≌△PBD≌△PCD，于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可见PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面.这个证明的步骤是：（1）由已知BD是Rt△ABC斜边上的中线,推出DA=DB=DC，记为P0(已知)P1;（2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出三个三角形全等，记为P1P2；（3）由三个三角形全等，推出∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,记为P2P3;（4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,推出PD垂直于△ABC所在的平面，记为P3P4(结论)；这个证明步骤用符号表示就是P0(已知)P1P2P3P4(结论).2．分析法例3．求证：3725证明：因为都是正数，3725和所以为了证明3725只需证明22(37)(25)展开得1022120即215只需证明2125，因为2125成立，所以不等式成立。3725分析法证明的逻辑关系是：B(结论)B1B2…BnA(已知).在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。例4．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为2()2L正方形的面积为2()4L因此本题只需证明22()()24LL为了证明上式成立，只需证明222416LL两边同乘以正数24L得114因为上式是成立的，所以22()()24LL这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。222416LL3．小结：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。