对数函数及其性质第3课时

2.2.2对数函数及其性质（第3课时）2xy2logxy2logyx化成对数式xy和互换01log(,)对数函数和指数函数互为反函数其中且xaayxyaa1、反函数的概念互为反函数二、新课讲解yx0y＝xyxy＝x0y＝2xy＝()x21y＝log2x21y=logx12345678876543218765432112345678-3-2-1-3-2-1-1-2-3-1-2-312yx关于直线对称yx关于直线对称2o2lg的反函数是xyxy12og12lxyxy的反函数是2xy2logxy2logyx化成对数式xy和互换1、反函数的概念互为反函数2、互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称二、新课讲解logxayxyyxa对数函数和指数函数图象关于直线对称01log(,)对数函数和指数函数互为反函数其中且xaayxyaa01122log,,已知函数且的反函数的图象经过点，求的值：。随练ayxaaa1、反函数的概念2、互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称二、新课讲解01log(,)对数函数和指数函数互为反函数其中且xaayxyaalogxayxyyxa对数函数和指数函数图象关于直线对称二、新课讲解12()4、若函数与图象关于直线对称，xyfxyyx001(),()2fxx且则12122....ABCD001201414()log1()log=21=()=24提示：，故，fxxfxxx例9、溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。(1)根据对数函数的性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH.三、例题讲解•解(1)根据对数的运算性质，•有pH＝－lg[H＋]＝lg[H＋]－1.•在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，[H＋]－1减小，•从而lg[H＋]－1减小，即pH减小．•所以，随着[H＋]的增大，pH减小．•(2)当[H＋]＝10－7时，•pH＝－lg[H＋]＝－lg10－7＝7，•所以纯净水的pH是7，酸碱度为中性．y=axy=bxy=cxy=dxyOxcdabOxylogayxlogbyxlogcyxlogdyx1ydcab1、探究底数大小1=x2、定点问题：与底数变化无关的点(1)2log(2)+3(0,1)_______ayxaa函数图象恒过定点3(,3)10loga222301()()______函数且图象恒过定点xyaaa(2,5)01a【图象问题】P8410.(2015年陕西渭南高一检测)若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是()【解析】由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数.所以0＜a＜1,0＜b＜1.所以g(x)＝ax＋b在R上是减函数，故排除A，B．由g(x)的值域为(b，＋∞).所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C．2.5431log5,(),log0.42,,....练习、已知，则的大小关系为（）abcabcAabcBbacCacbDcabA3、大小比较问题：1,(log)(2):1lo0(g)aaa中对数比较大小借助，间量“”“”底数不同真数不同或(1)对数值比较大小：利用对数函数比较若底数不确定，则单性同底调分类讨论【单调性问题】P857.已知f(x)＝6－ax－4ax1，logaxx≥1是R上的增函数，求a的取值范围.【解析】f(x)是R上的增函数，则当x≥1时，y＝logax是增函数，∴a1.又当x1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数.∴6－a0.∴a6.又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥65.∴65≤a6.∴a的取值范围为65，6.P8510.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是A．[1,2]B．0，12C．12，2D．(0,2]【解析】∵f(log12a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1).∵f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴－1≤log2a≤1，即12≤a≤2.3、对数运算性质：loga(M·N)＝logaM＋logaNlogaMN＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)loglognmaambbn换底公式：logab＝logcblogca(a0，且a≠1，c0，且c≠1，b0)【对数运算性质】P8411.设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2016)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22016)的值等于________.【解析】∵f(x21)＋f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22016)＝logax21＋logax22＋logax23＋…＋logax22016＝loga(x1x2x3…x2016)2＝2loga(x1x2x3…x2016)＝2f(x1x2x3…x2016)，∴原式＝2×8＝16.4、对数型函数求最值、值域问题212log(32)例：求函数的值域yxx2232=(1)44,解：令txxx4,0t12log(0,4]yt函数在上单调递减；Q111222log4loglog2,tt，即[2,).即原函数的值域为1204logytt，换元P48【示例】函数y＝logax(a0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值.【正解】(1)当a1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga42＝1，所以a＝2.(2)当0a1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga24＝1，所以a＝12.由(1)(2)，知a＝2或a＝12.【警示】在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a1与0a1两种情况.忽略底数a对函数y＝logax(a0且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.P8412.(2015年河南郑州高一模拟)求函数f(x)＝(log0.25x)2－log0.25x2＋5在x∈[2,4]上的最值.【解析】设t＝log0.25x，y＝f(x).由x∈[2,4]，得t∈－1，－12.又y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4在区间－1，－12上单调递减，所以当t＝－1，即x＝4时，y有最大值8；当t＝－12，即x＝2时，y有最小值254.P8512.已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值.【解析】∵f(x)＝2＋log3x，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.∵函数f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足1≤x2≤9，1≤x≤9，即1≤x≤3.∴0≤log3x≤1.∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13.当log3x＝1，即x＝3时，y＝13.∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.作业•完成练习册2.2.2两课时的练习•预习2.3幂函数