数学归纳法数学选修22第2章推理与证明人教B版

中国人民大学附属中学2.3.1数学归纳法归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到223333(1)123(*)4nnn这个猜想是一个与自然数相关的命题，其正确性有待证明。要证明公式（*）成立，原则上要对每一个正整数n实施证明。但是这个证明步骤是无限的，无法实施，需要另寻方法。数学归纳法可以用有限的步骤，完成这个命题的证明。其步骤如下：（1）当n=1时，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*）式对n=1成立；（2）假设当n=k时，（*）式成立，即假设223333(1)1234kkk在此前提下，可推出22333333(1)123(1)(1)4kkkkk而22232(1)(1)(1)[(1)]44kkkkkk22(1)(2)4kk由此可见在假设（*）式对n=k成立的前提下，推出（*）式对n=k+1成立。于是可以断定（*）式对一切正整数n成立.由步骤（1），可知（*）式对n=1成立；由（*）式对n=1成立及步骤（2），可知对n=1+1=2，（*）式成立；再由（*）式对n=2成立及步骤（2），可知对n=2+1=3，（*）式成立；继续上述步骤，可知（*）式对n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，…，n=(k－1)+1=k，…都成立。于是（*）式对一切正整数n成立。数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。（1）当n取第一个值n0时命题成立；（2）在假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，公差是d，那么an=a1+(n－1)d对一切n∈N+都成立。证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1,等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k－1)d，那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd，这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k－1)=k2.那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1]=k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。例3．用数学归纳法证明：21427310(31)(1)nnnn证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；（2）假设当n=k时，等式成立，即21427310(31)(1)kkkk21427310(31)(1)[3(1)1](1)(1)(34)kkkkkkkk22(1)(34)(1)(2)kkkkkk这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何n∈N+都成立。