三垂线定理1教案新人教A版必修2

课题：2.2.3.5三垂线定理（尖刀班）（1）课型：新授课一、课题：三垂线定理二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题。三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系．四、教学过程：（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：（二）新课讲解：1．射影的有关概念：（1）点的射影：自一点P向平面引垂线，垂足P叫做P在平面内的正射影（简称射影）。（2）图形的射影：如果图形F上所有点在一个平面内的射影构成图形F，则F叫做F在这个平面内的射影．2．斜线的有关概念：（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线；（2）斜足：斜线和平面的交点；（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段．由此，斜线段AB在平面内的射影仍为线段，即为线段0AB．3．三垂线定理：定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：,POPA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，a，且aOA求证：aPA；证明：∵PO∴POa，又∵,aOAPOOAO∴a平面POA，∴aPA．A0A0A0(B0)A0A0(A0)A0B0B0B0B0BBBBBAAAAAAABA0AaOAPPOEFCBA说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,POOPAAaPAaaOA．4．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证明略）推理模式：,,POOPAAaAOaaAP．练习：RtABC在平面内，90,,CPCCDAB于点D，请指出图形中的直角三角形。,,,,,RtABCRtADCRtBDCRtPDARtPDBRtPCARtPCBRtPCD三．例题分析：例1．已知：点O是ABC的垂心，POABC平面，垂足为O，求证：PABC．证明：∵点O是ABC的垂心，∴ADBC又∵POABC平面，垂足为O，PAABCA平面所以，由三垂线定理知，PABC．例2．如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上．已知：BAC在平面内，点,,,PPEABPFACPO，垂足分别为,,,EFOPEPF，求证：BAOCAO．证明：∵,,PEABPFACPO，∴,ABOEACOF（三垂线定理逆定理）∵,PEPFPAPA，∴RtPAERtAOF，DCBAPODACBP∴AEAF，又∵AOAO，∴RtAOERtAOF∴BAOCAO．例3．如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点C，使BC与道路边所成的水平角等于90，再在道路边取一点D，使水平角45CDB，测得,CD的距离等于20m，∵BC是AC在平面上的射影，且CDBC∴CDAC（三垂线定理）因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，∵45,,20CDBCDBCCDm，∴20BCm，在RtABC中得2222||152025()ACABBCm，答：电塔顶与道路距离是25m．四、课堂小结：1．射影和斜线的有关概念；2．三垂线定理及其逆定理．五、作业：1．在正方体1AC中，求证：正方体的对角线1AC垂直于平面11ABD．2．如图，ABCD是矩形，PA平面ABCD，点,MN分别是,ABPC的中点，求证：ABMN．3．已知：如图若直角ABC的一边//BC平面，另一边AB和平面斜交于点A，求证：ABC在平面上的射影仍为直角。课后记：ABCDMNP