第2课时余弦函数和正切函数人教版九年级下册数学精品教学课件

导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数学习目标1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.(重点)2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难点)导入新课问题引入ABC如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也确定了呢？讲授新课余弦一合作探究如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？DEDFABACABCDEF我们来试着证明前面的问题：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而sinB=sinE，因此.ACDFABDEABCDEF在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即归纳：ABC斜边邻边∠A的邻边斜边cosA=.ACAB从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin(90°－α)从而有sinα=cos(90°－α)练一练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝.12132.求cos30°，cos60°，cos45°的值．解：cos30°=sin(90°－30°)=sin60°=；32cos60°=sin(90°－60°)=sin30°=12；cos45°=sin(90°－45°)=sin45°=2.2正切二合作探究如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？DFEFACBCABCDEF∴Rt△ABC∽Rt△DEF.即BC·DF=AC·EF，∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∵∴.BCACEFDF∴.BCEFACDFABCDEF由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即归纳：∠A的对边∠A的邻边tanA=.ACABABC邻边对边∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？想一想：Q(3,4)0pyx1.如图，平面直角坐标系中，若点P坐标为(3，4)，则tan∠POQ=____.练一练43OCBA2.如图，△ABC中一边BC与以AC为直径的⊙O相切与点C，若BC=4，AB=5，则tanA=___.43锐角三角函数三例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理得2222==106=8ACABBC，因此63sin==105BCAAB，84cos==105ACAAB，63tan==.84BCAAC典例精析1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13.sinA=______，cosA=______，tanA=____，sinB=______，cosB=______，tanB=____.练一练513121351251312131252.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____，sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____.313132131332233131321313在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值ABC6例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．35解：∵sinBCAAB，5sin3BCABA=6=10.又22221068ACABBC，4tan.3ACBBC=4cos5ACAAB=，∴在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值ABC8解：∵3tan4BCAAC，63cos.105BCBAB如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA，cosB的值．练一练34338644BCAC，∴22228610ABACBC，∴63sin105BCAAB，∴1.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是()sin35mA.cos35mB.cos35mC.cos35mD.A当堂练习ABC2.随着锐角α的增大，cosα的值()A.增大B.减小C.不变D.不确定B当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)3.已知∠A，∠B为锐角，(1)若∠A=∠B，则cosAcosB；(2)若tanA=tanB，则∠A∠B.(3)若tanA·tanB=1，则∠A与∠B的关系为：.==4.tan30°=，tan60°=.333∠A+∠B=90°5.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A.tan70°＜cos70°＜sin70°B.cos70°＜tan70°＜sin70°C.sin70°＜cos70°＜tan70°D.cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.D6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA、tanA的值．1517解：15cos17ACAAB，88tan.1515BCkAACkABC设AC=15k，则AB=17k.∴2222(17)(15)8BCABACkkk，88sin1717BCkAABk，∴7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.若AD=6，CD=8.求tanB的值.解:∵∠ACB＝∠ADC=90°，∴∠B+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠B=∠ACD，∴tan∠B=tan∠ACD=63.84ADCD2222437ADABBD，3cos.4BDBAB7.3ADBD8.如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6.求cosB及tanB的值.解：过点A作AD⊥BC于D.∵AB=AC，∴BD=CD=3，在Rt△ABD中∴tanB=ABC∴D提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.课堂小结余弦函数和正切函数在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切余弦正切性质