几类不同增长的函数模型

3.2.1几类不同增长的函数模型一、新课引入有人说，一张普通的纸对折30次之后高度会超过10座珠穆朗玛峰，你相信吗？解：设纸厚度为0.01cm，一张纸对折x次的厚度是0012().xfxcm30300012().()fcm751071010710..cmm约8844米实例2根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训。他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，便问宗师想要得到什么赏赐。宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。你知道这需要多少麦粒吗？26364191222211910.()粒100040g按颗麦粒约计算，19191000470001000..()亿吨66.全球年小麦产量约亿吨例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？二、例题分析解：设第x天所得回报是y元方案一可以用函数进行描述；y=40(x∈N*)方案二可以用函数进行描述；y=10x(x∈N*)方案三可以用函数进行描述.y=0.4×2x-1(x∈N*)我们来计算三种方案所得回报的增长情况：第x/天方案一方案二方案三y/元y/元y/元增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678…30………………4040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4y=40y=10xy=0.4×2x-1从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。2亿1亿下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：1234678911二、例题分析我们看到，底为2的指数函数模型比一次函数模型增长速度要快得多。1234678911二、例题分析下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？8结论：投资1～6天，应选择方案一；投资7天，可选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天以上(含11天)，应选择方案三。总天数回报方案一二三401234567891011801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8下面再看累计的回报数：二、例题分析由例1得到解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解解决二、例题分析例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行提成奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个能符合公司的要求？二、例题分析1)本例涉及了哪几类函数模型？2)你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型应满足哪些条件才能符合公司要求吗？思考：我们不妨先作出函数图象：12345678y40060080010001200200xoy=5y=0.25x1002.xy71logyx二、例题分析通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。下面通过计算确认以上判断对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律12345678y40060080010001200200xoy=5y=0.25x1002.xy71logyx首先计算哪个模型的奖金不超过5万对于模型y=0.25x，它在[10,1000]上是递增当x=20时，y＝5，所以x20时，y5，因此该模型不符合要求；单调性x=?哪个范围？符合要求否？12345678y40060080010001200200xoy=5y=0.25x1002.xy71logyx首先计算哪个模型的奖金不超过5万对于模型y=1.002x，它在[10,1000]上递增单调性由函数图像并利用计算器，可以知道在区间(805，806)内有一个点x0，满足1.002x0=5因此当xx0时，因此该模型也不符合要求1;y5，12345678y40060080010001200200xoy=5y=0.25x1002.xy71logyx首先计算哪个模型的奖金不超过5万所以它符合要求1。对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.555单调性当是否有10,1000x7log125%0.25yxxx用计算机作图得它在[10，1000]上为减函数，71025101000()log.,[,]fxxxx令再计算按该模型奖金y是否不超过利润x的25%Oxy所以，当有100.31670()0fxfxf，即用计算机作图得它在[10，1000]上为减函数，所以有71025101000()log.,[,]fxxxx令即奖金不会超过利润的25%，所以模型能符合公司要求。71logyx10,1000x再计算按该模型奖金y是否不超过利润x的25%当是否有10,1000x7log125%0.25yxxx7log125%0.25yxxx223,2,log(0,).xyxyyx例已知函数，画出三个函数图象，比较其在区间上的增长情况x二、例题分析2222(1)(0,)(2)(0,)(3)0log2;(4)0log2.xxxxxxxx三个函数在区间上单调性怎样；哪个函数在区间上增长最快；当时，不等式：成立的范围是什思考：么当时，不等式：成立的范围是什么Oxy2222(3)0log2;(4)0log2.xxxxxxxx当时，不等式：成立的范围是什么当时，不等式：成立的范围是什么二、例题分析综上所述：(1)在区间(0,+∞)上，y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数。(2)随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n0)的增长速度。(3)随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n0)的增长速度。总存在一个x0，当xx0时，就有:logaxxnax1、几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数对数函数零增长直线增长爆炸式增长“慢速”增长2、解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题数学问题的解还原说明实际问题的解演算推理课堂小结：P981课本练习(1)(2)(3)(4)幂函数模型指数函数模型线性函数模型对数函数模型1001001.100.log..100xxAyxByxCyxDy、当越来越大时，下列函数增长速度最快的是（）22log(1),1007.300.400.500.600yxyaxABCD、某种动物繁殖数量与时间间的关系为设第一年只，则到第年的数量为（）只只只只30.5,1211.53_____________xyxyab、某厂某产品的月产量与月份间满足已知、月份产量分别为万件、万件，则月份的产量为20.52xy分析：0.200.300.05302040010250练习：北京一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸以每份的价格退回报社。在一个月(按天计)中，有天每天可卖出份，其余天每天只能卖出份，但每天进货量必须相同，问摊主每天要进多少份，才能使得每月获利最大？xy解：设每天进货量为份，每月获利为元,201025003002010250020005()(..)()(..)yxx05625.x250400,xQ05625250400.[,]yx且函数在上单调递增，40005400625825max.()xy当时，有元400825.答：每天进份报纸，可使得每月利润最大为元练习册：（1）P615ytyt2、在某种金属材料的耐高温的温度实验中，前分钟温度随时间的增加速度越来越慢，后五分钟温度几乎保持不变，求随时间的变化规律.1P1071、习题31001.2%1.3yx、甲乙两城市现有人口万，甲的年增长率为，乙每年增加万人，求甲、乙两城市人口总数与年份的函数