选修4-4.2.2.1椭圆的参数方程

高三数学选修4-4第二章参数方程2020/6/141pzyandong参数方程普通方程sincosbyaxsincosaybx12222byax12222bxay。轴上的椭圆的参数方程，焦点在这是中心在原点为参数的一个参数方程为我们得到了椭圆由例xObyaxbabyax)(sincos)0(142222的意义是什么？椭圆的参数方程中参数程中参数的意义，思考：类比圆的参数方2020/6/142pzyandongsinsin,coscos,,),(bOByaOAxBAyBxAyxMOAox的定义有的终边上，由三角函数角均在，由点的纵坐标为点的横坐标为那么点，的坐标是，点为终边的角为始边，设以轴上的椭圆。，焦点在这是中心在原点为参数是的轨迹，它的参数方程点旋转一周时，就得到了绕点当半径xObyaxMOOA)(sincos)2,0[的范围是通常规定参数在椭圆的参数方程中，xyoM(x,y)AB2020/6/143pzyandong的意义类似吗？中参数为参数的意义与圆的参数方程椭圆的参数方程中参数思考：)(sincosryrx的旋转角。是半径的旋转角，参数不是，的离心角称为点的旋转角或半径所对应的圆的是点由图可以看出，参数OMOMMOBOAM)()(xoyAMB2020/6/144pzyandongsincos)(sincos.1111222222byaxyxyxbyaxybyxax方程为可以得到椭圆的参数为参数利用圆的参数方程＋可以变成则椭圆的方程通过伸缩变换从几何变换的角度看，椭圆参数方程的推导2020/6/145pzyandong)2,0(),3,1()0,3(),3,2()()sin2,cos3(1、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数DCBAP它的焦距是多少？B52?____________________)(,0cos3sin2cos42222方程为那么圆心的轨迹的普通，为参数、已知圆的方程为yxyx14)(sincos21)sin()cos2(0cos3sin2cos42222222yxyxyxyxyx化为普通方程是为参数所以圆心的参数方程为可以化为解：方程2020/6/146pzyandong)(3)()(sin32cos43的坐标为，则点的倾斜角为为原点，上一点，且在第一象限为参数是椭圆、POOPyxP)1554,554(),3,2(、、BA)3,4(),3,32(、、DCB2020/6/147pzyandong小距离的距离最小，并求出最到直线，使点上求一点、在椭圆例0102149122yxMMyx10)cos(551510)54sin53(cos5510sin4cos3)sin2,cos3(),(sin2cos30dMMyx到直线的距离，得到点由点到直线的距离公式可设点为参数椭圆的参数方程为解：54sin,53cos000满足其中2020/6/148pzyandong。的距离取最小值与直线时，点位于所以，当点此时取最小值时，＝－由三角函数性质知，当50102)58,59(58sin2sin2,59cos3cos3,50000yxMMd2020/6/149pzyandong的取值范围。上的一个动点，求是椭圆、设yxyxyxP21232),(322]22,22[2]1,1[)cos()cos(22sin4cos62)20(sin2cos6,14622yxyxyxyx为参数，它的一个参数方程为解：椭圆的方程可化为2020/6/1410pzyandong小节：椭圆的参数方程的形式椭圆参数方程中参数的意义2020/6/1411pzyandong1．椭圆的参数方程普通方程参数方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝___________，y＝___________(φ为参数)y2a2＋x2b2＝1(ab0)x＝___________，y＝___________(φ为参数)acosφbsinφbcosφasinφ2020/6/1412pzyandong2．椭圆x－m2a2＋y－n2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝m＋acosφ，y＝n＋bsinφ(φ为参数)．3．圆的参数方程x＝rcosθ，y＝rsinθ中的参数θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ中的参数φ是椭圆上点M的离心角．2020/6/1413pzyandong1．椭圆x225＋y216＝1的参数方程为()A．x＝5sinθ，y＝4cosθ(θ为参数)B．x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)C．x＝5sin2θ，y＝4cos2θ(θ为参数)D．x＝5cos2θ，y＝4sin2θ(θ为参数)解析：将各选项中的参数方程化为普通方程，可知选项A正确．答案：A2020/6/1414pzyandong2．参数方程x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)化为普通方程为()A．x2＋y24＝1B．x2＋y22＝1C．y2＋x24＝1D．y2＋x22＝1解析：参数方程可化为x＝cosθ，y2＝sinθ，两式平方相加，得x2＋y24＝1．答案：A2020/6/1415pzyandong3．椭圆C：x＝3cosφ，y＝5sinφ(φ为参数)的长轴等于________．解析：由椭圆C的参数方程知a＝3，b＝5．∴长轴长为2a＝6．答案：64．已知过曲线x＝3cosθ，y＝4sinθ(θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线的倾斜角为π4，则点P的坐标为________．解析：由题意可设点P的坐标为(tcosπ4，tsinπ4)(t0)．代入曲线x＝3cosθ，y＝4sinθ得ttanθ＝34，2020/6/1416pzyandong又∵0≤θ≤π∴sinθ0，cosθ0，由sinθcosθ＝34，sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝35，cosθ＝45.∴点P的坐标为(125，125)．答案：(125，125)2020/6/1417pzyandong已知实数x，y满足x225＋y216＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．[思路点拨]将椭圆上的点的坐标设成参数形式，将问题转化成三角函数求最值问题．利用椭圆的参数方程求最值解：椭圆x225＋y216＝1的参数方程为x＝5cosφ，y＝4sinφ(φ为参数)．代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝52＋82cos(φ＋φ0)58tan)cos(8900．所以目标函数zmin＝－89，zmax＝89．【规律方法】利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．2020/6/1418pzyandong1．在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．解：因为椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3cosφ，y＝sinφ(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(3cosφ，sinφ)，其中0≤φ2π．因此，S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝2sin3．所以，当φ＝π6时，S取得最大值2．2020/6/1419pzyandong已知A、B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC重心G的轨迹的普通方程．利用椭圆的参数方程求轨迹方程[思路点拨]由已知求出A、B坐标，再设出C点坐标(6cosθ，3sinθ)，再用A、B、C的坐标表示出G点的参数方程，消参后得普通方程．2020/6/1420pzyandongACxBOy解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)．由重心坐标公式可知x＝6＋0＋6cosθ3＝2＋2cosθ，y＝0＋3＋3sinθ3＝1＋sinθ.由此消去θ得到x－224＋(y－1)2＝1即为所求．【规律方法】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更简便．2020/6/1421pzyandongACxBOy2．已知椭圆方程是x216＋y29＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．解：设P(4cosθ，3sinθ)，Q(x，y)，则有x＝4cosθ＋62，y＝3sinθ＋62，即x＝2cosθ＋3，y＝32sinθ＋3(θ为参数)．∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36即为所求．2020/6/1422pzyandong已知椭圆x24＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．[思路点拨]利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P、Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值．利用椭圆的参数方程求解恒成立问题2020/6/1423pzyandong证明：设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．则MB1的方程：y＋1＝sinφ＋12cosφ·x，令y＝0，则x＝2cosφsinφ＋1，即|OP|＝2cosφ1＋sinφ．MB2的方程：y－1＝sinφ－12cosφx，sin1cos2||.sin1cos2,0OQxy则令．4sin1cos2sin1cos2OQOP即|OP|·|OQ|＝4为定值．【规律方法】利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．2020/6/1424pzyandong3．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆x＝2cosθ，y＝4sinθ(0≤θ＜2π)恒有公共点，求b的取值范围．解：将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b得，4sinθ＝2cosθ＋B．∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f(θ)＝4sinθ－2cosθ＝25sin(θ－φ)．∴－25≤f(θ)≤25．∴－25≤b≤25．2020/6/1425pzyandong规范解答系列(二)椭圆参数方程的综合应用【典例】(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝42．(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．2020/6/1426pzyandong[思路点拨](1)利用sin2α＋cos2α＝1消去参数α求得曲线C1的普通方程，利用和角的正弦公式将ρsinθ＋π4展开求得曲线C2的直角坐标方程；(2)由三角恒等变换求最小值及点P的坐标．2020/6/1427pzyandong[规范解答](1)对于曲线C1，有x3＝cosα，y＝sinα⇒x32＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，即C1的普通方程为x23＋y2＝1.2分对于曲线C2，有ρsinθ＋π4＝22ρ(cosθ＋sinθ)＝42⇒ρcosθ＋ρsinθ＝8⇒x＋y－8＝0，所以C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.5分