对称矩阵

摘要...........................................................................................................错误!未定义书签。关键词...........................................................................................................错误!未定义书签。Abstract.......................................................................................................错误!未定义书签。Keywords...................................................................................................错误!未定义书签。前言................................................................................................................错误!未定义书签。1.对称矩阵的基本性质.......................................................................错误!未定义书签。1.1对称矩阵的定义..........................................................................错误!未定义书签。1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误!未定义书签。2.对称矩阵的对角化............................................................................错误!未定义书签。2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明................................错误!未定义书签。2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例.....................错误!未定义书签。3.对称矩阵的正定性............................................................................错误!未定义书签。3.1正定矩阵的定义..........................................................................错误!未定义书签。3.2对称矩阵正定性的判别...........................................................错误!未定义书签。4.应用举例.................................................................................................错误!未定义书签。总结................................................................................................................错误!未定义书签。参考文献.....................................................................................................错误!未定义书签。对称矩阵的性质及应用1摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等.关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用ThePropertiesandApplicationsofSymmetryMatrixAbstract:Thearticlemainlyelaboratesthedefinitionsofsymmetrymatrixanddiscussespropertiesandapplicationsofit,includingthebasicpropertiesofsymmetrymatrices,diagonalizationofsymmetrymatrices,positivedefinitenessofsymmetrymatricesandapplicationsinquadraticform,lineartransformationsandEuclideanspaceproblemsetc.Keywords:symmetrymatrix;diagonalization;positivedefiniteness;application前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点.本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用.1.对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.1.1对称矩阵的定义定义1设矩阵()ijsnAa，记()TjinsAa为矩阵的转置.若矩阵A满足条件TAA，则称A为对称矩阵.由定义知：21.对称矩阵一定是方阵.2.位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ijjiaa，对任意i、j都成立.对称矩阵一定形如111211222212nnnnnnaaaaaaaaa.定义2形式为12000000laaa的矩阵，其中ia是数(1,2,,)il，通常称为对角矩阵.定义3若对称矩阵A的每一个元素都是实数，则称A为实对称矩阵.定义4若矩阵A满足TAA，则称A为反对称矩阵.由定义知：1.反对称矩阵一定是方阵.2.反对称矩阵的元素满足ijjiaa，当ij时，iiiiaa，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如12112212000nnnnaaaaaa.下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.1.2对称矩阵的基本性质及简单证明性质1同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.证设A、B是n阶对称矩阵，即TAA,TBB.则：TTTABABAB，TTTTTABABABAB，,TTkCkAkAkA.性质2设A为n阶方阵，则TAA，TAA，TAA是对称矩阵.证因为TTTTTTAAAAAA，则TAA是对称矩阵.因为TTTTTTAAAAAA，则TAA是对称矩阵，同理可证TAA也是对称矩阵.3性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1A是对称矩阵（反对陈矩阵）.证（1）因为A可逆，TAA，111TTAAA，所以1A是对称矩阵.（2）因为A可逆，TAA，1111()()()TTAAAA，则1A是对称矩阵.性质4任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.证设A为nn矩阵，1122TTAAAAA，由性质2易证12TAA是对称矩阵，111222TTTTAAAAAA，则12TAA是反对称矩阵.性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则TXAX是对称矩阵.证因为TTTTTTTTTXAXXAXXAXXAX,所以TXAX是对称矩阵.性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.证必要性：若AB为对称矩阵，则TABAB，又TTTABBABA，ABBA，因此，A、B可交换.充分性：若ABBA，则TTTABBABAAB，AB为对称矩阵.2.对称矩阵的对角化任意一个n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案.2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明定理1实对称矩阵的特征值都是实数.证设A是n阶实对称阵，是的特征值，12,,,TnXxxx是属于的特4征向量，于是有AXX.令12nxxXx，其中ix是ix的共轭复数，则________AXX，考察等式____________()()()TTTTTXAXXAXAXXAXX，其左边为____TXX，右边为____TXX.故____TXX=____TXX，又因X是非零量，____11220TnnXXxxxxxx故，即是一个实数.注意，由于实对称矩阵A的特征值i为实数，所以齐次线性方程组0iAEx为实系数方程组，由0iAE知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.例如，124003001A，1,21，30均为实数，而A不是对称的.定理2设A是实对称矩，定义线性变换,1122nnxxxxAxx......(1)，则对任意向量,nR，有,,或TT.证只证明后一等式即可.TTTTTA.定理3设A是实对称矩阵，则nR中属于A的不同特征值的特征向量必正交.证设12,是A的两个不同的特征值，12,XX分别是属于12,的特征向量：111AXX,222AXX.定义线性变换如定理2中的（1），于是111XX，222XX.由1212,,XXXX，有112212,,XXXX.因为12，所以12,0XX.即12,XX正交.定理4对任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵P，使1TPAPPAP成为对角形且对角线上的元素为A的特征值.证设A的互不相等的特征值为12,,,s()sn，它们的重数依次为512,,,srrr12srrrn.则对应特征值i(1,2,,)is，恰有ir个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得ir个单位正交的特征向量，由12srrrn知，这样的特征向量共可得n个.由定理3知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵P，则1TPAPPAP，其对角矩阵中的对角元素含1r个1，…,sr个s，恰是A的n个特征值.2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形.定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A对角化找出正交阵P的方法，具体步骤如下：1.求出实对称矩阵的A全部特征值12,,,s.2.对每个i(1,2,,)is，由0iEAX求出的特征向量.3.用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组.4.以这组向量为列，作一个正交