人教A版数学选修23全册课件第一章13131二项式定理

第一章1.31.3.1二项式定理2突破常考题型题型一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点1理解教材新知1.3二项式定理1．3.1二项式定理[提出问题]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cnnbn.[导入新知]二项式定理及其相关概念二项式定理公式(a＋b)n＝，称为二项式定理二项式系数通项Tk＋1＝二项式定理的特例(1＋x)n＝1＋C1nx＋…＋Cknxk＋…＋xnC0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋CnnbnCkn(k＝0,1，…，n)Cknan－kbk[化解疑难]1．(a＋b)n的二项展开式中，字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.2．二项式的第k＋1项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cknbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．3．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a＋b)n的展开式的第k＋1项，该项的二项式系数为Ckn.(2)字母b的次数与二项式系数的组合数的上标相同．(3)a和b的次数之和为n.二项式定理的正用、逆用[例1](1)求(x＋2y)4的展开式．(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.[解](1)(x＋2y)4＝C04x4＋C14x3(2y)＋C24x2(2y)2＋C34x(2y)3＋C44(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.[类题通法]1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．[活学活用](1)求x－12x4的展开式．(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解：(1)法一：x－12x4＝C04(x)4－C14(x)3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.(2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55－C55＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.[例2](1)在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项(2)(浙江高考)设二项式x－13x5的展开式中常数项为A，则A＝________.求二项展开式中的特定项[解析](1)Tk＋1＝Ck20(32x)20－k－12k＝－22k·(32)20－kCk20·x20－k.∵系数为有理数，∴(2)k与220－k3均为有理数，∴k能被2整除，且20－k能被3整除．故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，∴k＝2,8,14,20.(2)Tk＋1＝Ck5(x)5－k－13xk＝Ck5(－1)kx52－5k6，令52－5k6＝0，得k＝3，所以A＝－C35＝－10.[答案](1)A(2)－10[类题通法]1．在通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk(n∈N*，k＝0,1,2,3，…，n)中含有a，b，n，k，Tk＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．[活学活用]已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为Tk＋1＝Cknxn－k3(－3)kx－k3＝Ckn(－3)kxn－2k3.(1)∵第6项为常数项，∴k＝5时，有n－2k3＝0，即n＝10.(2)根据通项公式，由题意得10－2k3∈Z，0≤k≤10，k∈Z，令10－2k3＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，即k＝5－32r.∵k∈Z，∴r应为偶数．于是r可取2,0，－2，即k可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－3)2x2，C510(－3)5，C810(－3)8x－2.求二项式系数与项的系数[例3]在2x2－13x8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．[解]法一：利用二项式的展开式解决．(1)2x2－13x8＝(2x2)8－C18(2x2)7·13x＋C28(2x2)6·13x2－C38(2x2)5·13x3＋C48(2x2)4·13x4－C58(2x2)3·13x5＋C68(2x2)2·13x6－C78(2x2)·13x7＋C8813x8，则第5项的二项式系数为C48＝70，第5项的系数为C48·24＝1120.(2)由(1)中2x2－13x8的展开式可知倒数第3项为C68·(2x2)2·13x6＝112x2.法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T5＝C48·(2x2)8－4·－13x4＝C48·24·x203，则第5项的二项式系数是C48＝70，第5项的系数是C48·24＝1120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C68·(2x2)8－6·－13x6＝112x2.[类题通法]1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在2x2－13x8展开式中的倒数第3项就是13x－2x28展开式中第3项，T3＝C28·13x8－2·(2x2)2＝112x2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数Ckn；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．[活学活用](1)若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．(2)(四川高考)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．解析：(1)x－ax26的展开式的通项是Tk＋1＝Ck6x6－k·(－a)kx－2k＝Ck6x6－3k(－a)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知得C26a＝60，解得a＝4.(2)(x＋y)5展开式的通项是Tk＋1＝Ck5x5－kyk，令k＝3得T4＝C35x2y3＝10x2y3，故二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10.答案：(1)4(2)102.二项式定理破解三项式问题[典例]求x2＋1x＋25的展开式的常数项．[解]法一：由二项式定理得x2＋1x＋25＝x2＋1x＋25＝C05·x2＋1x5＋C15·x2＋1x4·2＋C25·x2＋1x3·(2)2＋C35·x2＋1x2·(2)3＋C45·x2＋1x·(2)4＋C55·(2)5.其中为常数项的有：C15x2＋1x4·2中的第3项：C15C24·122·2；C35·x2＋1x2·(2)3中的第2项：C35C12·12·(2)3；展开式的最后一项C55·(2)5.综上可知，常数项为C15C24·122·2＋C35C12·12·(2)3＋C55·(2)5＝6322.法二：原式＝x2＋22x＋22x5＝132x5·[(x＋2)2]5＝132x5·(x＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋2)10的展开式中含x5的项的系数，即C510·(2)5.所以所求的常数项为C510·2532＝6322.[多维探究]解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．[探究一](安徽高考)(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3解析：1x2－15的展开式的通项为Tk＋1＝Ck51x25－k·(－1)k，则第一个因式取2，第二个因式取(－1)5，得2×(－1)5＝－2；第一个因式取x2，第二个因式取1x2，得1×C45(－1)4＝5，因此，(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是5＋(－2)＝3.答案：D[探究二]在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是()A．－15B．85C．－120D．274答案：A解析：根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4，所以原式的展开式中，含x4的项的系数为－15.[探究三]在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数是________(用数字作答)．答案：35解析：法一：(转化为二项式定理解决)(1＋x)2，(1＋x)3，…，(1＋x)6中x2的系数分别为C22，C23，…，C26，所以原式的展开式中，x2的系数为C22＋C23＋…＋C26＝C33＋C23＋…＋C26＝C34＋C24＋…＋C26＝…＝C37＝35.法二：(利用数列求和方法解决)由题意知1＋x≠0，原式＝1＋x7－1＋xx，故只需求(1＋x)7中x3的系数，即(1＋x)7的展开式中第4项的系数，即C37＝35.[随堂即时演练]1．在(x－3)10的展开式中，含x6的项的系数是()A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C410解析：含x6的项是T5＝C410x6(－3)4＝9C410x6.答案：