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第一章1.21.2.1第二课时排列习题课2突破常考题型题型一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测1回顾相关知识1.2排列与组合1．2.1排列第二课时排列习题课1．两个计数原理有何区别？2．排列与排列数有何不同？无限制条件的排列问题[例1]有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？[解]从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．因此有A35＝5×4×3＝60种不同的安排方法．[类题通法]没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．[活学活用]某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号．答案：15[例2]3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端．元素的“在”与“不在”问题[解](1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A36种站法，然后再排其他位置，有A44种站法，所以共有A36·A44＝2880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A22种站法，其余5人全排列，有A55种站法．故共有A22·A55＝240种不同站法．[类题通法]1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．[活学活用]乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．解析：分两步完成：第1步，安排三名主力队员有A33种排法；第2步安排另2名队员有A27种排法，所以共有A33·A27＝252种不同的出场安排．答案：252元素的“相邻”或“不相邻”问题[例3]3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．[解](1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．[类题通法]1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列．2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．[活学活用]7人站成一排．求：(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A66种排法．甲、乙两人可交换位置，有A22种排法．故共有A66·A22＝1440种排法．(2)法一(间接法)：7人任意排列，有A77种排法，甲、乙两人相邻有A22·A66种排法，故共有A77－A22·A66＝3600种甲、乙不相邻的排法．法二(插空法)：将其余5人排列，有A55种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A26种排法．故共有A55·A26＝3600种排法．(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A55种排法，甲、乙、丙三人有A33种排法，共有A55·A33＝720种排法．(4)(插空法)将其余4人排好，有A44种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A35种排法．故共有A44·A35＝1440种排法．1.探究数字排列问题数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重从附加限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．[典例]用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．(1)六位数；(2)六位奇数．[解](1)(间接法)：0,1,2,3,4,5六个数字共能形成A66种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可以组成A66－A55＝600个没有重复数字的六位数．(2)法一(位置分析法)：①从个位入手：个位数排奇数，即从1,3,5中选1个有A13种方法，首位数排除0及个位数余下的4位数字中选1个有A14种方法，余下的数字可在其他位置全排列有A44种方法，由分步乘法计数原理，共有A13·A14·A44＝288个不同的六位奇数．②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类进行．第1类，首位排奇数，有A13种选择，再个位排奇数有A12种方法，其余位置全排列有A44种．则共有A13·A12·A44＝144种方法．第2类，首位排非0偶数，共有A12·A13·A44＝144种方法．根据分类加法计数原理，共有144＋144＝288个六位奇数．法二(元素分析法)：0不在两端有A14种排法．从1,3,5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故共有A14·A13·A44＝288个六位奇数．[多维探究]解排数字问题常见的解题方法(1)“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．(2)“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．(3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．(4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．在本例条件下，试求：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第1类，0在个位时，有A35个；第2类，2在个位时，首位上的数字从1,3,4,5中选定1个(A14种)，十位上的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有A24种，于是有A14·A24个；第3类，4在个位时，与第2类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理得：共有A35＋2A14·A24＝156个无重复数字的四位偶数．(2)可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有A45个；第2类，个位上为5的五位数有A14·A34个，故共有A45＋A14·A34＝216个无重复数字且为5的倍数的五位数．(3)可分为三类：第1类，形如2，3，4，5，共有A14·A35个；第2类，形如14，15，共有A12·A24个；第3类，形如134，135，共有A12·A13个．由分类加法计数原理可知，共有A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270个无重复数字且比1325大的四位数．[随堂即时演练]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240解析：由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.答案：C2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种解析：从5名志愿者中选2人排在两端有A25种排法，2位老人的排法有A22种，其余3人和老人排有A44种排法，共有A25A22A44＝960种不同的排法．答案：B3．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．解析：因为good有两个相同字母，所以可能出现A44－3A22A22－1＝11种错误．答案：114．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有3A24＝3×12＝36种选法．答案：365．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第2步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法．[课时达标检测]