人教A版数学选修23全册课件第一章12122第一课时组合与组合数公式

第一章1.21.2.2第一课时组合与组合数公式2突破常考题型题型一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二1理解教材新知1.2排列与组合1．2.2组合第一课时组合与组合数公式[提出问题]从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？组合与组合数提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．[导入新知]1．组合一般地，从n个的元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从的一个组合．2．组合数从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．不同n个不同元素中取出m个元素合成一组所有不同组合的个数Cmn[化解疑难]1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质．2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合.[提出问题]从1,3,5,7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A24＝4×3＝12个不同的商．组合数公式问题2：如何用分步法求商的个数？提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C24A22.问题3：由问题1,2你能得出计算C24的公式吗？问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？提示：能．因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6.提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：第1步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有Cmn种不同的取法；第2步，将取出的m个元素全排列，共有Amm种不同的排法．由分步乘法计数原理知，Amn＝Cmn·Amm，故Cmn＝AmnAmm.[导入新知]组合数公式乘积形式Cmn＝AmnAmm＝组合数公式阶乘形式Cmn＝性质①Cmn＝；②Cmn＋1＝备注①n，m∈N*，m≤n；②规定C0n＝，Cnn＝1nn－1n－2…n－m＋1m！n！m！n－m！Cn－mnCmn＋Cm－1n1[化解疑难]组合数公式Cmn＝nn－1n－2…n－m＋1m！的分子是连续m个正整数n，n－1，n－2，…，(n－m＋1)的乘积，即从n开始减小的连续m个自然数的积，而分母是1,2,3，…，m的乘积．当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便．组合的有关概念[例1]判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？[解](1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．(3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区别的．[类题通法]根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．[活学活用]从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.[例2](1)计算：C410－C37·A33；(2)已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求Cm8＋C5－m8.与组合数有关的计算[解](1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原式＝m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7×7－m！m！10×7！，即m！5－m！5！－m！6－m5－m！6×5！＝7×m！7－m6－m5－m！10×7×6×5！，∴1－6－m6＝7－m6－m60，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.而0≤m≤5，∴m＝2.∴Cm8＋C5－m8＝C28＋C38＝C39＝84.[类题通法]在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算Cmn时，若m比较大，可利用性质①，不计算Cmn而改为计算Cn－mn，在计算组合数之和时，常利用性质②.[活学活用](1)计算：C58＋C98100·C77；(2)求等式C5n－1＋C3n－3C3n－3＝195中的n值；解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.(2)原方程可变形为C5n－1C3n－3＋1＝195，C5n－1＝145C3n－3，即n－1n－2n－3n－4n－55！＝145·n－3n－4n－53！，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求.简单的组合问题[例3]在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[解](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．[类题通法]解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．[活学活用]现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为C210＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种选法；第2类，选出的2名是女教师有C24种选法．根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．3.关注组合数中字母的取值范围[典例]已知：1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求m.[解]依题意，m的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}．因为m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7×m！7－m！10×7！，化简得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.因为0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21舍去，所以m＝2.[易错防范]1．运用组合数公式转化为关于m的一元二次方程后，易忽略0≤m≤5的取值范围，导致错误．解这类题目时，要将Cmn中m，n的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解．2．应用组合数性质Cmn＝Cpn可以得到m＝p或m＋p＝n两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了m＋p＝n的情况，从而导致错误．[成功破障]已知Cx－212＝C2x－412，则x的值是()A．2B．6C.12D．2或6解析：根据组合数性质Cmn＝Cn－mn可得到：若Cmn＝Cpn，则0≤m≤n，0≤p≤n，m＝p或m＋p＝n，根据题意得到：0≤x－2≤12，0≤2x－4≤12，x－2＝2x－4或x－2＋2x－4＝12.解得x＝2或x＝6.答案：D[随堂即时演练]1．方程Cx28＝C3x－828的解为()A．4或9B．4C．9D．其他解析：当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.答案：A2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14B．24C．28D．48解析：从6人中任选4人的选法种数为C46＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.答案：A3．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种．解析：父母应为A或B或O，共有C13·C13＝9种情况．答案：94．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________(用数字作答)．解析：先给甲组选4人，有C410种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为C410＝210.答案：2105．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，求该科技小组中男生的人数．解：由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.所以该科技小组有5名男生．[课时达标检测]