人教A版数学选修23全册课件第一章13132杨辉三角与二项式系数的性质

第一章1.31.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质2突破常考题型题型一题型二题型三3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测1理解教材新知1.3二项式定理1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质[提出问题](a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.问题3：二项式系数的最大值有何规律？提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．[导入新知]二项式系数的性质性质内容对称性Cmn＝Cn－mn，即二项展开式中，与首末两端“”的两项的相等.等距离二项式系数性质内容如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式的二项式系数最大．增减性与最大值如果n为奇数，那么其展开式中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值．二项展开式中各二项式系数的和等于，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝.二项式系数的和奇数项的二项式系数之和等于项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C2n＋C4n＋C6n＋…＝.中间一项T+12nT12n与T112n2n2n偶数2n－1[化解疑难]1．求二项式系数最大的项时，要特别注意n的奇偶性，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式的某一项，某一项的二项式系数，某一项的系数是三类不同的问题，要注意区别．与“杨辉三角”有关的问题[例1]如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝2＋10×92＋220＝274.[类题通法]解决与“杨辉三角”有关的问题的一般思路(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．11112113311464115101051…第0行第1行第2行第3行第4行第5行…[活学活用]如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由“杨辉三角”知，第1行中的数是C01，C11；第2行中的数是C02，C12，C22；第3行中的数是C03，C13，C23，C33；…；第n行中的数是C0n，C1n，C2n，…，Cnn.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解得n＝34.答案：34[例2]设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；(2)a1＋a3＋a5的值；(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值；求二项展开式中系数和[解]记f(x)＝(1－2x)5.(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2.(2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1＋a3＋a5＝12[f(1)－f(－1)]＝12(－1－35)＝－122.(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(1)－f(0)＝35－1＝242.[类题通法]“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[活学活用]2．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a1＋a2＋…＋a10；(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，故a1＋a2＋…＋a10＝－32.(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.二项式系数的性质[例3]已知x23＋3x2n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解]令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n2n＝2n＝32，n＝5.(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，则由Tk＋1＝Ck5(x23)5－k(3x2)k＝3kCk5x1043k，得3kCk5≥3k－1Ck－15，3kCk5≥3k＋1Ck＋15，∴72≤k≤92，∴k＝4，即展开式中系数最大的项为T5＝C45(x23)(3x2)4＝405x263.[类题通法]1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．[活学活用]在x－2x28的展开式中，(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解：(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．故T5＝C48·24·x2042＝1120x－6.(2)因Tk＋1＝Ck8·(x)8－k－2x2k＝(－1)k·Ck8·2k·x542k.设第k＋1项系数的绝对值最大，则Ck8·2k≥Ck＋18·2k＋1，Ck8·2k≥Ck－18·2k－1，即18－k≥2k＋1，2k≥19－k.整理得k≥5，k≤6.于是k＝5或6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.4.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项[典例]已知(2x－1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn的值．[解]设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，由已知得：B－A＝38，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，所以(－3)n＝38＝(－3)8，所以n＝8，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝2n－C0n＝28－1＝255.[易错防范]1．求解本题易犯下列问题：一是误把奇次项，偶次项看成是奇数项、偶数项．二是错误地认为－38＝(－3)8.三是把C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn看成二项展开式各项二项式系数和，忽略了C0n.2．解答此类问题应掌握(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n，且奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和都等于2n－1.[成功破障]已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．解析：依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)＝－256.答案：－256[随堂即时演练]1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析：该式展开共2n＋2项，中间有两项；第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．答案：C2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：C0n＋2C1n＋…＋2nC2n＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32.答案：B3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：54．如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第n行的首尾两个数均为________．13356571111791822189…解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.答案：2n－15．求(1－x)8的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.[课时达标检测]