人教A版数学选修23全册课件第二章22223独立重复试验与二项分布

第二章2.22.2.3独立重复试验与二项分布2突破常考题型题型一1理解教材新知题型二3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二2.2二项分布及其应用2．2.3独立重复试验与二项分布独立重复试验[提出问题]要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．问题1：试想每次试验的前提是什么？提示：条件相同．问题2：试验结果有哪些？提示：正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．问题3：各次试验的结果有无影响？提示：无，即各次试验相互独立．[导入新知]独立重复试验在条件下做的n次试验称为n次独立重复试验．相同重复[化解疑难]对独立重复试验概念的理解(1)每次试验都是在相同的条件下进行；(2)每次试验的结果相互独立；(3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等；二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．问题1：试用Ai表示B1.提示：B1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)．[提出问题]问题2：试求P(B1)．提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3两两互斥，故P(B1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.问题4：由以上结果你能得出什么结论？提示：P(Bk)＝Ck30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.[导入新知]二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为．Cknpk(1－p)n－kX～B(n，p)成功概率[化解疑难]二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度进一步阐述．与n次独立重复试验恰有k次发生的概率相呼应，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速写出随机变量的概率分布列．求有关二项分布的概率[例1]某安全监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5.计算：(1)恰有两家煤矿必须整改的概率；(2)至少有两家煤矿必须整改的概率．[解]设需整改的煤矿有X家，则X～B(5,0.5)．(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为：P(X＝2)＝C25×(1－0.5)2×0.53＝516.(2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整改”，其概率为：P(X＝0)＋P(X＝1)＝C05×(1－0.5)0×0.55＋C15×(1－0.5)1×0.54＝316，所以至少有两家煤矿必须整改的概率为：1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－316＝1316.[类题通法]1．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．2．二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．[活学活用]1．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C23122·12＝38.(2)乙至少击中目标2次的概率为C23232·13＋C33233＝2027.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C23232·13·C03123＋C33233·C1312·122＝118＋19＝16.[例2]某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．求二项分布的分布列[解]任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，有P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.(1)法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P1＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.25＝0.1，所以该人参加过培训的概率是P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名下岗人员，该人参加过一项培训的概率是P3＝P(AB)＋P(AB)＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.该人参加过两项培训的概率是P4＝P(AB)＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P5＝P3＋P4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人对培训项目的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝Ck3×0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，即ξ的分布列是ξ0123P0.0010.0270.2430.729[类题通法]解此类问题，一定要掌握如何建模，这一点至关重要，利用二项分布求解时，注意n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率．[活学活用]2．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．解：有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B3，15.∴P(X＝0)＝C03×150×453＝64125，P(X＝2)＝C23×152×451＝12125，P(X＝3)＝C33×153×450＝1125.∴X的分布列为X0123P64125481251212511256.理解“至少”“至多”中的误区[典例]某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是________．[解析]至少有2天预报准确，即为恰有2天或恰有3天预报准确概率为C23×0.82×0.2＋C33×0.83＝0.896.所以至少有2天预报准确的概率为0.896.[答案]0.896[易错防范]1．求解时对“至少有2天”的含义理解出错，误认为“恰有2天”，实际是“恰有2天”和“有3天”两种情况．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．[成功破障]在本例条件下，求至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？解：至少有一个连续2天预报都准确，即为恰有一个连续2天预报都准确或3天预报都准确，概率为：2×0.82×0.2＋0.83＝0.768.所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为0.768.[随堂即时演练]1．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为()A.34B.38C.13D.14解析：每枚硬币正面朝上的概率为12，正面朝上的次数X～B3，12，故所求概率为C23122×12＝38.答案：B2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝()A．C23142×34B．C23342×14C.142×34D.342×14解析：ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是142×34.答案：C3．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～Bn，12.解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p等于________．解析：P(X＝2)＝C24p2(1－p)2＝827，即p2(1－p)2＝132·232，解得p＝13或p＝23.答案：13或235．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．解：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A、B”，则P(A)＝23，P(B)＝34.(1)甲射击4次，全击中目标的概率为C44P4(A)[1－P(A)]0＝234＝1681.所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为1－1681＝6581.(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为C24P2(A)·[1－P(A)]2＝6×232×132＝827.乙恰好击中3次，概率为C34P3(B)·[1－P(B)]1＝2764.故所求概率为827×2764＝18.[课时达标检测]