人教A版数学选修23全册课件第二章23231离散型随机变量的均值

第二章2.32.3.1离散型随机变量的均值2突破常考题型题型一1理解教材新知题型二3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型三2.3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值[提出问题]设有12个西瓜，其中重5kg的有4个，重6kg的有3个，重7kg的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？提示：X＝5,6,7.问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？提示：412，312，512.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×412＋6×312＋7×512.[导入新知]1．离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的．(3)性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝.平均水平aE(X)＋b2．两点分布与二项分布的均值XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)p(p为成功概率)np[化解疑难]1．对离散型随机变量均值的理解离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．求离散型随机变量的均值[例1]甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译出密码的概率是23，乙破译出密码的概率是45，设破译出该密码的人数为X，求其数学期望．[解]设A、B分别为甲、乙破译出该密码的事件，X的可能取值是0,1,2.P(X＝0)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝1－23×1－45＝115；P(X＝1)＝P(A·B)＋P(A·B)＝23×1－45＋1－23×45＝25；P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×45＝815.所以X的分布列是X012P11525815因此E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.[类题通法]求期望的关键是写出分布列，一般分四步：(1)确定X可能的取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．[活学活用]盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．解：X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X123P35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.[例2]某运动员投篮投中的概率为0.6.求：(1)一次投篮时投中次数X的均值；(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．求两点分布及二项分布的均值[解](1)X的分布列为X01P0.40.6则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.(2)Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．故E(Y)＝5×0.6＝3，即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.[类题通法]设p为成功概率，则服从两点分布的离散型随机变量的均值为p，服从二项分布的离散型随机变量的均值为np.[活学活用]若将题型一中的[活学活用]中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的数学期望．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X～B(5，35)，则E(X)＝5×35＝3.均值问题的实际应用[例3]甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及求甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．[解](1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高．[类题通法]解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．[活学活用]某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为12.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X(X＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(X＝5)＝C55125＝132.(2)X的分布列为X012345P13253210321032532132设游客在一次游戏中获得奖金为Y元，于是Y的分布列为Y－2040P2632532132故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为E(Y)＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．3.求离散型随机变量的均值[典例](12分)(山东高考改编)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．[解题流程]察所求结论→求总得分X的分布列及期望→先求X的分布列，再求E(X)观察条件→共射击三次，命中甲靶得1分，命中乙靶得2分由射中次数可得总分X的取值由该选手射中次数确定X的取值根据立事件、互斥事件概率公式求概率独得X的分布列，可求得EX[规范解答]记：“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意知P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23，(2分)根据题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.(3分)根据事件的独立性和互斥性得P(X＝0)＝P(BCD)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)][规范解答]＝1－34×1－23×1－23＝136；(4分)P(X＝1)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝34×1－23×1－23＝112；(5分)P(X＝2)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)＝1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝19；(7分)[规范解答][名师批注]X＝2表示两种情况，即事件C，D发生一个.P(X＝3)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)＝34×23×1－23＋34×1－23×23＝13；(8分)P(X＝4)＝P(BCD)＝1－34×23×23＝19；P(X＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13.(10分)故X的分布列为[规范解答]X012345P13611219131913(11分)所以E(X)＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.(12分)利用公式计算应细心，不要出现计算错误.[名师批注][规范解答][活学活用]运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X0～678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．解：(1)ξ的可能取值为7、8、9、10，P(ξ＝7)＝0.04，P(ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21，P(ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39，P(ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36，ξ的分布列为ξ78910P0.040.210.390.36(2)ξ的均值为E(ξ)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07.[随堂即时演练]1．已知ξ的分布列为ξ－1012P14381418则ξ的均值为()A．0B．－1C.18D.14解析：E(ξ)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14.答案：D2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()A．20B．25C．30D．40解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为C2525＝516.所以X～B80，516.故E(X)＝80×516＝25.答案：B3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．解析：依题意得x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，即x＋y＝0.6，7x＋10y＝5.4，解得y＝0.4.答案：0.44．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，∴14a＋6b＝3.①又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1.②∴由①②可知a＝12，b＝－23，∴a＋b＝－16.答案：－165．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：(1)X的分布列；(2)X的均值．解：(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C24C29＝16，P(X＝1)＝C13C14C29＝13，P(X＝2)＝C14C12＋C23C29＝1136，P(X＝3)＝C12C13C29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为X01234P1613113616136(2)E(X)＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.[课时达标检测]