人教A版数学选修23全册课件第二章24正态分布

第二章2.4正态分布2突破常考题型题型一1理解教材新知题型二3跨越高分障碍4应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二题型三2.4正态分布正态曲线及正态分布[导入新知]1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．12πσe－x－μ22σ2φμ，σ(x)随机变量X落在区间(a，b]的概率P(a＜X≤b)≈，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值，如图．abφμ，σ(x)dx2．正态分布如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量X服从正态分布，则记为．abφμ，σ(x)dxμσN(μ，σ2)X～N(μ，σ2)[化解疑难]参数μ和σ的意义：正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布.正态曲线的特点及3σ原则[导入新知]1．正态曲线的特点正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R有以下特点：(1)曲线位于x轴，与x轴；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在处达到峰值(最大值)；(4)曲线与x轴之间的面积为；上方不相交x＝μx＝μ1σ2π1(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．x轴越小越大2．3σ原则正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝.0.68260.95440.9974[化解疑难]对于有关正态分布的计算问题，要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．正态曲线的图象和性质[例1]如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．[解]从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，解得σ＝2.于是概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝12πe－x－2024，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.[类题通法]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.[活学活用]设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1σ2.答案：A[例2]设随机变量X～N(1,22)，试求：(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)．正态分布中的概率计算[解](1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝0.6826；(2)P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]＝12(0.9544－0.6826)≈0.1359.[类题通法]关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.特别注意：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0.[活学活用]在本例条件下求P(X5)．解：P(X5)＝P(X≤－3)＝12[1－P(－3X≤5)]＝12[1－P(1－4X≤1＋4)]＝0.0228.正态分布的实际应用[例3]设在一次数学考试中，某班学生的成绩X～N(110,202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．[解]因为X～N(110,202)，所以μ＝110，σ＝20，P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6826.于是X＞130的概率为12×(1－0.6826)＝0.1587，X≥90的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413，故及格的人数为54×0.8413≈45(人)，130分以上的人数为54×0.1587≈9(人)．[类题通法]解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．[活学活用]某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．8.错用正态曲线的对称性[典例]随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.8413，求P(－1ξ≤0)．[解]如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.8413，所以P(ξ1)＝1－0.8413＝0.1587.所以P(ξ≤－1)＝0.1587，所以P(－1ξ≤0)＝0.5－0.1587＝0.3413.[易错防范]1．求解时，不注意结合图形对称性，错解为P(－1ξ≤0)＝1－P(ξ≤1)＝0.1587.2．针对μ＝0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式：(1)P(X－x0)＝1－P(X≤x0)；(2)P(aXb)＝P(Xb)－P(X≤a)．[成功破障]如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ3)＝P(ξ1)成立，则μ＝________.解析：因为ξ～N(μ，σ2)，故正态曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ1)＝P(ξ3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2.答案：2[随堂即时演练]1．设X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足()A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μB．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2D．众数＝中位数＝平均数＝μ解析：利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．答案：D2．设X～N－2，14，则X落在(－3.5，－0.5)内的概率是()A．95.44%B．99.74%C．4.56%D．0.26%解析：由X～N－2，14知，μ＝－2，σ＝12，则P(－3.5X≤－0.5)＝P－2－3×12X≤－2＋3×12＝0.9974.答案：B3．设随机变量X～N(1,22)，则D12X等于________．解析：因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D12X＝14D(X)＝14×4＝1.答案：14．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：①②③5．设随机变量X～N(0,1)，求P(X≤0)，P(－2X2)．解：对称轴X＝0，故P(X≤0)＝0.5，P(－2X2)＝P(0－2×1X0＋2×1)＝0.9544.[课时达标检测]