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§2.3.1抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。【教学目标】：（1）知识与技能：掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。（2）过程与方法：在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。（3）情感、态度与价值观：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义1.椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（122FFa）的点的轨迹.2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（122FFa）的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设(0)KFpp,则焦点F的坐标为（2p，0），准线的方程为2px．设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合PMMFd．∵MF222pxy；d=2px．∴2222ppxyx＝．化简得：22(0)ypxp．注：22(0)ypxp叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是02p，，准线方程是2px．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。三、例题讲解例1求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(-3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0。分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0),则将点(-3,2)方程得423p或922p。∴所求的抛物线方程为224932yxxy或（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.∴抛物线的焦点为F(0,-2).设抛物线方程为x2=2py。则由22p得2p8,∴所求的抛物线方程为x2=-8y或令y=0由x-2y-4=0得x=4,∴抛物线焦点为Ｆ(4,0).设抛物线方程为y2=2px。则由42p得2p16,∴所求的抛物线方程为y2=16x注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。例2已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。(1)y2=6x；(2)y=ax2.分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为3,02F,准线方程是3.2x（2）将抛物线方程化为标准方程2111,2,.24pxypaaa，则焦点坐标为10,4Fa，准线方程为1.4ya例3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。值。解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px(p0),则焦点,0.2pF，由题设可得2226.352mppm，解之得426pm或426pm－.故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为26（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴22p,∴p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为26四、巩固练习1．选择：⑴若抛物线y2=2px(p0)上横坐标为-6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是(B)A、4B、8C、16D、32⑵过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于11(,),Axy22(,)Bxy,若621xx,那么AB等于(B)A.10B.8C.6D.4⑶已知点),4,3(AF是抛物线xy82的焦点,M是抛物线上的动点。当MFMA最小时，M点的坐标是(C)A.(0,0)B.(3,26)C.(2,4)D.(3,26)2．填空：⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是6,62；⑵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a2p），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是2pa．四、巩固练习3．(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．线的标准方程是x2=－8y．4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且∴所求的抛物线方程为y2=16x.标准方程。五、课后练习1.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(B)(A)18(B)41(C)21(D)12.（上海）过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条(C)有无穷多条(D)不存在3.抛物线24xy上一点A的纵坐标为4，则点根据学生情况分层布置作业。A与抛物线焦点的距离为(D)(A)2(B)3(C)4(D)54.（江苏卷）抛物线y=42x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(B)(A)1617(B)1615(C)87(D)05．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．（如图）点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝29点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝34∴所求抛物线的标准方程是y2＝29x或x2＝－34y6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．练习与测试：（说明：题目6个（以上）——其中基础题4个，难题2个；每个题目应该附有详细解答）1．选择题（1）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），则其准线方程为（D）(A)2ax(B)4ax(C)ay21(D)ay41（2）抛物线21xmy（m≠0）的焦点坐标是（B）(A)（0，4m）或（0，4m）(B)（0，4m）(C)（0，m41）或（0，m41）(D)（0，m41）（3）焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是（C）(A)y2＝16x或x2＝16y(B)y2＝16x或x2＝12y(C)x2＝－12y或y2＝16x(D)x2＝16y或y2＝－12x2．根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）过点（－3，4）（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16解：（1）yx492或xy3162（2）y2＝±16x3．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程．解：x2＝32y4．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程。分析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。解：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y。变题：（1）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程。（2）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：（1）当x0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。（2）本题可分外切时，当x0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。内切时当x≥0时，y=0(x≠a);当x0时，y2=4ax。