人教A版选修11教案232抛物线的几何性质2含答案

§2.3.２抛物线的几何性质（２）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。【教学难点】：抛物线几何性质的运用。【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入回顾抛物线的几何性质：将基本公式用填空的形式巩固。二、知识准备设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：2121212221111()4AByyyyyykk或22212121211()4ABkxxkxxxx曲线抛物线方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形xyoFLxyoFLyoFLyoFL焦点F(p/2,0)F(-p/2,0)F(0,p/2)F(0,-p/2)范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1准线x=-p/2x=p/2y=-p/2y=p/2渐近线无无无无二、例题讲解例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，求这个正三角形的边长．分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为),(11yx、),(22yx，则1212pxy，2222pxy又|OA|＝|OB|，所以22222121yxyx即22212122pxxpxx0)(2)(212221xxpxx0)](2)[(2121xxpxx∵02,0,021pxx，∴21xx．由此可得||||21yy，即线段AB关于x轴对称．因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以3330tan011xy所以pypxy3212111，pyAB342||1例2．过抛物线y＝214x的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）⑴当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）⑵当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0则x1+x2=－4k；x1x2=－4；∴12xx＝21616k∴AB=222121||11616kxxkk＝4（1+k2）＝8∴k＝±1∴α＝45°或135°圆锥曲线的弦长求法二、例题讲解例3．已知抛物线方程为)0)(1(22pxpy，直线:lxym过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．圆锥曲线的xyBAO解：设l与抛物线交于1122(,),(,),||3.AxyBxyAB则由弦长公式|AB|=221221)()(yyxx=1212211||2||yyyyk=3则有2129().2yy由.02,).1(2,21222ppyyxxpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp从而.294)2(,4)()(2221221221ppyyyyyy即由于p0，解得43p中点弦问题三、巩固练习1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。（答案：边长为83）2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线022ppxy上，求正三角形外接圆的方程分析：依题意可知圆心在x轴上，且过原点，故可设圆的方程为：022Dxyx，又∵圆过点32,6pA，∴所求圆的方程为0822pxyx3．已知抛物线xy62,过点(4,1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为0113yx解析:设直线与抛物线交点为),(),,(2211yxByxA则22212166xyxy)(6212221xxyy,3,62kky中4．已知直线bxy与抛物线pxy220p相交于A、B两点，若OBOA，（O为原点）且52AOBS，求抛物线的方程（答案：xy22）5．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线12xy截得的弦长为15，求抛物线的方程（答案：xy122或xy42）四、课后练习1．斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)，所以直线AB的方程为y=x-1①与y2=4x②联立，解得：将x1、x2的值代入方程①中，得即A、B的坐标分别为322,222、322,2222242428AB2．已知抛物线022ppxy与直线1xy相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：xy2）3.已知ABC的三个顶点是圆0922xyx与抛物线022ppxy的交点，且ABC的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：xy42）4．已知直角OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线022ppxy上，（1）分别求A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O点在线段AB上的射影M的轨迹方程答案：（1）2214pyy；2214pxx；（2）直线AB过定点0,2p（3）点M的轨迹方程为0222xpypx5．已知直角OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线022ppxy上，原点在直线AB上的射影为1,2D，求抛物线的方程（答案：xy252）练习与测试：1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)yx2122．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A)（2，4）(B)（2，±4）(C)（1，22）(D)（1，±22）3．直线l过抛物线)0()1(2axay的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a()A.4B.2C.41D.214．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6．以双曲线191622yx的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．7．已知抛物线xy2与直线)1(xky相交于A、B两点,①求证;OBOA;②当OAB的面积等于10时,求k的值.测试题答案：1．A2．D3．A4．x2＝±8y5．9)23(22yx6．255127．解析(证明):设),(),,(222121yyByyA;)0,1(N),1(),1(222121yyNByyNA,由A,N,B共线21222211yyyyyy)()(212112yyyyyy,又21yy121yy--------------------------------------------------------------③OBOAyyyyyyyyOBOA0)1(2121222121②12121yySOAB由)1(2xkyxy得02kyky61,104121121212kkyySOAB