人教A版选修11教案23复合函数的导数含答案

§1.2.3复合函数的导数【学情分析】：在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.【教学目标】：(1)理解掌握复合函数的求导法则.(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．【教学重点】：简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.【教学难点】：复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习常见函数导数以及四则运算.作业讲评及提问,回忆常见函数的导数公式和导数四则运算,会解释导数实际意义.为课题引入作铺垫.(2)教科书P16思考题如何求函数ln(1)yx的导数?开门见山提出问题.(3)复合函数的定义.(1)复合函数的定义.(2)比较复合函数与基本初等函数的异同?直接给出定义,并与基本初等函数相区别和联系.(4)例题选讲例1试说明下列函数是怎样复合而成的？(1)32)2(xy；⑵2sinxy；⑶cos()4yx⑷)13sin(lnxy．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴uycos，21xu；⑵uyln，xuln．允许讨论,允许提问,允许争论,允许修正,允许置疑.老师点评.说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例3.求函数2(32)yx的导数.(1)能否用学过四则运算解决问题?(2)新方法：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux两个导数相乘，得232(32)31812uxyuuxx，从而有xuxuyy'''对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.(3)能否用方法(2)解决(2)教科书P16思考题:如何求函数ln(1)yx的导数?(4)学生动手,可板演,可用实物投影仪讲评.两种方法作对照与比较,体会不同的解决方法与策略.鼓励学生模仿并及时修正.(6)自学教科书P17例4.学生自学,教师巡堂并答疑.在摸索中熟悉.(7)例4:求y=sin2(2x+3)的导数.分析:设u=sin(2x+3)时，求'xu，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+3.解略.必要时老师应板书详细过程.(8)课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x－3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x2)3(4)y=(2x3+x)2(1)20(5x－3)3(2)15(2+3x)4(3)－6x(2－x2)2(4)24x5+16x3+2x可板演，可小测。核对答案、讲评并小结.巩固提高.(10)课堂小结⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.(11)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3练习与测试:1．填空：(1)2222)1()()1)(()1(xxxxx；(2)xxxxx222sin4))(1(sin)()sin21(2.求下列函数的导数：(1)y=xaxa(2)y=232xx(3)y=tanx(4)y=xcos113.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.222sin)cos1(2)cos1(xxxxxxx4.求y=xxsin12的导数.5.求y=xxxcos423的导数.6.求函数y=(2x2－3)21x的导数.参考答案:1．(1)∵22222)1()1()1()1(xxxxxxx222)1()2()1)(1(xxxx(2)2222)sin2()sin2)(1(sin2)1()sin21(xxxxxxxxxxxxxxxxx2222sin4)cos2)(1(sin)4(sin4)cos2)(1(sin222.(1)y′=(xaxa)′2)())(()()(xaxaxaxaxa22)(2)()()(xaaxaxaxa(2)y′=(232xx)′2222)3()3)(2()3()2(xxxxx342423491239)6)(2(3xxxxxxxxx(3)y′=(tanx)′=(xxcossin)′2)(cos)(cossincos)(sinxxxxxxxxxx22222seccos1cossincos(4)y′=(xcos11)′2)cos1()cos1(1)cos1(1xxx＝22)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0xxxxx3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.2222231cos(1cos)(1cos)()()()sin2cos2xxxxxxxxxxx4.y′=(xxsin12)′222)(sin))(sin1(sin)1(xxxxxxxxxx22sincos)1(sin25.y′=(xxxcos423)′222323)cos()cos)(4(cos)4(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos3xxxxx22sincos)1(sin25.y′=(xxxcos423)′222323)cos()cos)(4(cos)4(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos36.分析:y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，21x是复合函数，可以先算出21x对x的导数.令y=uv，u=2x2－3，v=21x,令v=，ω=1+x2xxvv=()(1+x2)x′=22211122)2(21xxxxx∴yx′=(uv)x′=ux′v+uvx′=(2x2－3)x′·21x+(2x2－3)·21xx=4x23232161321xxxxxxx即yx′=2316xxx.