尖子生培优教材数学七年级上第二讲--数轴与绝对值讲义及答案

-1-第二讲数轴与绝对值知识导引1、基本概念：（1）数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．（2）相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数．（3）倒数：若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数．零没有倒数．（4）绝对值：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．绝对值的基本性质：)0()0(aaaaa2、有理数的大小比较：（1）分类比较：两个正数，绝对值大的数较大；负数＜零＜正数；两个负数，绝对值大的数反而小．（2）利用数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．3、温馨点拨：（1）数轴的作用在于建立了数与数轴上的点之间的一种对应关系，即数与形的一种转换关系．任意一个有理数总可以用数轴上的一个点表示出来，但要注意的是数轴上的一个点对应着一个数，但这个数不一定是有理数．（2）绝对值的重要性质：①非负性：0a；②若0ba（通常称为“0＋0＝0”型），则a＝b＝0．（3）有理数a与－a叫做互为相反数．零的相反数仍是零．若a，b互为相反数，则a＋b＝0．因为互为相反数的两个数在数轴上表示的两个点与原点之间的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等．（4）求一个数的绝对值时要想到是求出这个数在数轴上表示的点到原点的距离．在熟练掌握这个思路的基础上就能较好地理解求有理数的绝对值的法则．典例精析例1：回答下列问题：（1）写出在数轴上与表示413的点距离2个单位长度的数．（2）求＋8，32，0这三个数的绝对值．（3）绝对值相等的两个有理数是否一定相等？有没有绝对值最小的有理数？有没有绝对值最大的有理数？例1—1：下列各式中，p和q互为相反数的是（）A、pq＝1B、pq＝－1C、p＋q＝0D、p－q＝0例2：有理数a、b、c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（）-2-A、0cbaB、cbaC、cacaD、accb例3：若a＞b，则baba；若a＜b，则abbaba)(．根据以上规律，你能求出1996119971415131412131121的值吗？例3—1：在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示．如果点O为AB的中点，那么1ababa＝．例3—2：已知a在数轴上的位置如图所示，化简11aa的值是．例4：比较下列各组数的大小．（1）－（－5）与5（2）－（＋3）与0（3）54与43（4）与14.3例5：电子跳蚤在数轴上的某点0K，第一步从0K向左跳一个单位长度到1K，第二步由1K向右跳两个单位长度到2K，第三步由2K向左跳三个单位长度到3K，第四步由3K向右跳-3-四个单位长度到4K，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K所表示的数恰好为19.94．试求电子跳蚤的初始位置0K点所表示的数．例6：阅读下面的材料：点A，B在数轴上分别表示实数a、b，A，B两点之间的距离表示为AB．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，OBAB＝bab；当A，B两点都不在原点时，若点A，B都在原点的右边，如图2，OBAB－OA＝baabab，若点A，B都在原点的左边，如图3，OBAB－OA＝baabab)(，若点A，B在原点的两边，如图4，OBAB＋OA＝babaab)(．综上，数轴上A，B两点之间的距离baAB．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是，如果2AB那么x为．（3）当代数式21xx取最小值时，相应的x的取值范围是．探究活动例：在数轴上把坐标为1，2，……，2006的点称为标点．一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，历经所有标点，且回到出发点．那么，该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由．-4-学力训练A组务实基础1、下列语句：①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（）A、正数B、整数C、非负数D、非正数3、下列说法正确的是（）A、两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等B、任何一个数的相反数与这个数一定不相等C、两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等D、两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数互为相反数4、2.3a，则a是（）A、3.2B、－3.2C、±3.2D、以上都不对5、若20132012a，20142013b，则ab（填“＞”，“＜”或“＝”）．6、在数－0.34，)21(，0.3，－35%，0.33·4·，41中，最大的数是，最小的数是．7、填空题：（1）－1的绝对值是；（2）0.6的绝对值是；（3）2＝；（4）的相反数的绝对值是216；（5）若2a，则a＝．8、8的相反数是；8的相反数是；8.2的绝对值是；－（＋5）的绝对值是；－365的绝对值的相反数是．-5-9、小惠和小红在学校操场的旗杆前玩“石头、剪子、布”的游戏，规则如下：在每一个回合中，若某一方赢了，对方，便可向右走2米，而输的一方则向右走－3米，平局的话就原地不动，最先向右走18米的便是胜方．假设游戏开始时，两人均在旗杆处．（1）若小惠在前四个回合中都输了，则她会站在什么位置？（2）若小红在前三个回合中赢了两次输了一次，则她会站在什么位置？（3）假设经过五个回合后，小红仍然站在旗杆处，且没有猜平局（即五个回合中没有出现平局的情况）．问：小惠此时会站在什么位置？10、已知3a，5b，a与b异号，求ba的值．B组瞄准中考1、（义乌中考）－3的绝对值是（）A、3B、－3C、31D、312、（哈尔滨中考）若x的相反数是3，5y，则x＋y的值为（）A、8B、2C、8或－2D、－8或23、（毕节中考）若0)2(32nm，则nm2的值为（）-6-A、－4B、－1C、0D、44、（安徽中考）下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第二位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位，对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的，当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（）A、495B、497C、501D、5035、（潼南中考）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a、b，则a、b的大小关系为．6、（益阳中考）数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．7、（咸宁中考）出租车司机李师傅从上午8：00~9：15在厦大至会展中心的环岛路上运营，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅运载十批乘客的里程如下（单位：千米）：＋8，－6，＋3，－7，＋8，＋4，－9，－4，＋3，＋3．（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？（2）上午8：00~9：15，李师傅开车的平均速度是多少？（3）若出租车收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午8：00~9：15一共有多少收入？8、（宁夏中考）一条东西走向的公路上，一辆汽车第一次从A地出发向西行驶了5千米到达B地；第二次从B地出发向东行驶12千米到达C地；第三次从C地出发向西行驶4千米到达D地．（1）记向东为正，向西为负，把该车各次行驶的情况在数轴上表示出来．（2）A地与C地的距离和A地与D地的距离分别是多少千米？（3）根据在数轴上表示的行程图，说出D地在B地的什么位置？（4）这辆汽车的总行程是多少？9、（昆明中考）如1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1＋2＋3＋…＋n＝2)1(nn．如果图1中的圆圈共有12层，-7-（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是多少？（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数－23，－22，－21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．C组冲击金牌1、已知：x＜0＜z，xy＞0，且xzy，那么yxzyzx的值（）A、是正数B、是负数C、是零D、不能确定符号2、若a、b为有理数，那么下列判断：（1）若ba，则一定有a＝b；（2）ba，则一定有a＞b；（3）若ba，则一定有ba；（4）若ba，则一定有22)(ba．正确的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位上的数字，并且a≤b≤c，则accbba可能取得的最大值是．4、设a、b、c为整数，且1acba，求cbbaac的值．5、已知022aab，-8-求)2006)(2006(1)2)(2(1)1)(1(11bababaab的值．-9-第二讲数轴与绝对值参考答案典例精析1、（1）在表示413的点的左侧距离2个长度单位的点为4152413；在表示413的点的右侧距离2个长度单位的点为4112413，所以所求的数有415和411两个．（2）88，3232，00．（3）绝对值相等的两个有理数不一定相等；有绝对值最小的有理数，这个数是零；没有绝对值最大的有理数．1—1、C2、C3、199719963—1、－a3—2、14、（1）＞；（2）＜；（3）＜；（4）＜；5、设点0K所表示的数为x，则点1K，2K，…，100K所表示的数分别为x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100，由题意得，x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19.94，解得x＝－30.06，即电子跳蚤的初始位置0K点所表示的数是－30.06．6、（1）334（2）1x1或－3（3）－1≤x≤2探究活动解：设青蛙跳过的点为1a，2a，3a，…，2006a，跳过的路径和为S，12006200620053221aaaaaaaaS1a到2006a在上式中均出现两次（因为每个数在绝对值符号里作为被减数和减数各一次，共出现两次），取＋，－的各2006个（把每一项展开时，大的取＋，小的取－，所以整个式子在展开计算时，取＋，－的各有2006个）．故S≤2×（1004＋1005＋…＋2006）－2×（1＋2＋…＋1003）（要使加的数尽量大，减的数尽量小，所以加的是2006到1004，减的是1到1003，这样跳过的路径才是最大的）．所以S＝2×21003，这就是青蛙跳过的最大路径，即青蛙跳过的最大路径为2012018．学力训练A组1、A2、C3、D4、C5、＞6、)21(－35%7、（1）1；（2）0.6；（3）－2；（4）216；（5）±28、－8－82.85－3659、（1）小惠站在旗杆左侧12米处．（2）小红站在旗杆右侧1米处．（3）设小红胜x场，则输（5－x）场．依题意，2x－3×（5－x）＝0．解得x＝3，则小惠胜2场，输3场．所以小惠此时站在旗杆左侧5米处．10、ba的值为8．B组-10-1、A2、D3、B4、A5、a＜b6、6或－67、（1）由题意得：向东为“＋”，向西为“－”，则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：（＋8）＋（－6）＋（＋3）＋（－7）＋（＋8）＋（＋4）＋（－9）＋（－4）＋（＋3）＋（＋3）＝