人教版数学选修44课件11平面直角坐标系

坐标系第一讲教材单元导学知识结构图解分类考试要求考点及能力要求高考1.平面直角坐标系的建立即坐标法d2.伸缩变换b3.极坐标与直角坐标互化d4.简单曲线的极坐标方程d5.柱坐标系与球坐标系简介a•1.1平面直角坐标系栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练•1．平面直角坐标系的作用：通过建立直角坐标系，平面上的点与坐标(有序数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．•2．坐标法：根据_______对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法．课前教材预案•要点一平面直角坐标系几何•3．坐标法解决几何问题的“三部曲”：•第一步：建立适当的_____________________，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；•第二步：通过_______运算，解决_______问题；•第三步：把代数运算结果“翻译”成_______结论．平面直角坐标系代数几何几何•的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就称φ为平面直角坐标系中的________________，简称______________．•要点二平面直角坐标系中的伸缩变换定义：设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：x′＝λx，λ＞0，y′＝μy，μ＞0坐标伸缩变换伸缩变换课堂深度拓展•考点一求轨迹方程•求轨迹方程的步骤•求轨迹方程需要结合几何图形的结构特点，先建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．•【例题1】已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．•思维导引：建立适当的直角坐标系，写出A，B两点的坐标，设出点C的坐标，代入直角三角形满足的条件中化简即得，注意A，B，C三点不共线．•解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．•方法一由△ABC是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.•故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．方法二由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，则yx＋a·yx－a＝－1(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．方法三由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点C与点B不重合，所以x2＋y2＝a2(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．•【变式1】已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．解析：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴，y轴建立直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA|＝x＋42＋y2，|MB|＝x－42＋y2，|MC|＝x2＋y－22，|MD|＝x2＋y＋22，由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得[x＋42＋y2][x－42＋y2]＝[x2＋y－22][x2＋y＋22].化简得y2－x2＋6＝0.则点M的轨迹方程为x2－y2＝6.•考点二用坐标法解决几何问题•用坐标法解决几何问题的技巧•(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即化形为数，再回到形中．•(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．•【例题2】有一大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地相距10km，居民选择A地或B地购买这种商品的标准是包括运费和价格的总费用较低．求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．•思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线，故要想到坐标法解决问题．解析：以A，B所在直线为x轴，A，B中点O为坐标原点，建立如图的直角坐标系．∵|AB|＝10，∴点A(－5,0)，B(5,0)．设某地P的坐标为(x，y)，并设A地运费为3a元/公里，则B地运费为a元/公里，设P地居民购货总费用满足条件(P地居民选择A地购货)：价格＋A地运费≤价格＋B地运费，即3ax＋52＋y2≤ax－52＋y2，∵a0，∴3x＋52＋y2≤x－52＋y2，两边平方得9(x＋5)2＋9y2≤(x－5)2＋y2，即x＋2542＋y2≤1542.故以点C－254，0为圆心，以154为半径的圆是这两地购货的分界线．圆C内的居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A，B两地购货的总费用相等，可随意从A，B两地之一购货．•【变式2】已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.解析：如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．则直线AC的方程为y＝－hax＋h，即hx＋ay－ah＝0.直线AB的方程为y＝hax＋h，即hx－ay＋ah＝0.由点到直线的距离公式得|BD|＝|2ah|a2＋h2，|CE|＝|2ah|a2＋h2，则|BD|＝|CE|，即BD＝CE.•考点三平面直角坐标系中的伸缩变换•(1)利用伸缩变换求解析式，其主旨是相关点法求解析式，用未知点的坐标表示已知点的坐标，代入已知轨迹的解析式中．•(2)求满足变换图象的伸缩变换，实际上就是求其变换公式，将新旧坐标分别代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．•思维导引：利用伸缩变换公式求解．【例题3】(2016·黄冈高三模拟组合)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝12x，y′＝13y后的图形．(1)2x＋3y－4＝0；(2)x2＋y2＝1；(3)x24＋y29＝1；(4)y2＝4x.解析：将x′＝12x，y′＝13y变形为x＝2x′，y＝3y′，(1)2x＋3y－4＝0可变换为4x′＋9y′－4＝0，即将直线2x＋3y－4＝0变换为直线4x′＋9y′－4＝0.(2)x2＋y2＝1可变换为4x′2＋9y′2＝1，即x′214＋y′219＝1，即将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x′214＋y′219＝1.(3)x24＋y29＝1可变换为x′2＋y′2＝1.(4)y2＝4x可变换为9y′2＝8x′，即y′2＝89x′.即将抛物线y2＝4x变换为抛物线y′2＝89x′.【变式3】在同一平面直角坐标中，已知伸缩变换公式φ：x′＝3x，2y′＝y，求双曲线C：x2－y24＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标．解析：由伸缩变换公式φ：x′＝3x，2y′＝y，得x＝13x′，y＝2y′，代入x2－y24＝1得到变换后C′的方程为x′29－y′21＝1.则a2＝9，b2＝1，由c2＝a2＋b2得c＝10.故曲线C′两焦点为F1(10，0)，F2(－10，0)．课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统