人教版数学选修44课件22圆锥曲线的参数方程

参数方程第二讲•2.2圆锥曲线的参数方程•2.1曲线的参数方程•2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练课前教材预案•要点一椭圆的参数方程普通方程参数方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝_________y＝_________(φ为参数)y2a2＋x2b2＝1(ab0)x＝bcosφy＝asinφ(φ为参数)acosφbsinφ•要点二双曲线的参数方程普通方程参数方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)x＝acosφy＝_________(φ为参数)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)x＝btanφy＝acosφ(φ为参数)btanφ注意：在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程中，通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.•(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为____________(t是参数)，t∈(－∞，＋∞)；•(2)抛物线y2＝－2px(p0)的参数方程为___________(t是参数)，t∈(－∞，＋∞)；•(3)抛物线x2＝2py(p0)的参数方程为___________(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)；•(4)抛物线x2＝－2py(p0)的参数方程为___________(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)．•要点三抛物线的参数方程x＝2pt2y＝2ptx＝－2pt2y＝2ptx＝2pty＝2pt2x＝2pty＝－2pt2课堂深度拓展•考点一椭圆参数方程的应用【例题1】已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程．思维导引：由已知求出A，B坐标，再设出C点坐标(6cosθ，3sinθ)，再用A，B，C的坐标表示出G点的参数方程，消参后得普通方程．解析：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)．由重心坐标公式可知x＝6＋0＋6cosθ3＝2＋2cosθ，y＝0＋3＋3sinθ3＝1＋sinθ.由此消去θ得到x－224＋(y－1)2＝1即为所求．【变式1】(2016·江西高三九校联考)曲线C的极坐标方程为3ρsinθ＋2ρcosθ＝2，曲线C1参数方程为：x＝1＋3cosαy＝2sinα(α为参数)．(1)求曲线C1的普通方程；(2)若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的取值范围．(2)设M(1＋3cosα，2sinα)，曲线C的直角坐标方程为2x＋3y－2＝0，d＝|2＋6cosα＋6sinα－2|13＝62613cosα－π4∈0，62613.解析：(1)由C1的参数方程x＝1＋3cosα，y＝2sinα得x－13＝cosα，y2＝sinα，平方消去α得曲线C1的普通方程为x－129＋y24＝1.•考点二双曲线参数方程的应用•双曲线参数方程的应用技巧•先设出双曲线上的点P的参数形式，利用斜率公式或点到直线的距离公式等转化为三角函数问题，再用三角知识去处理．•思维导引：利用双曲线的参数方程，将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解．【例题2】直线AB过双曲线x2a2－y2b2＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点．求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值．证明：如图所示，设Pacosα，btanα，Aacosθ，btanθ.∵A，B过原点O，∴A，B的坐标关于原点对称，于是有B－acosθ，－btanθ，从而kPA·kPB＝btanα－tanθa1cosα－1cosθ·btanα＋tanθa1cosα＋1cosθ＝b2tan2α－tan2θa21cos2α－1cos2θ＝b2a2为定值．【变式2】在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.解析：设P的坐标为1cosφ，tanφ，由P到直线x－y＝0的距离为2得1cosφ－tanφ2＝2即1cosφ－sinφcosφ＝2，|1－sinφ|＝2|cosφ|平方得1－2sinφ＋sin2φ＝4(1－sin2φ)，即5sin2φ－2sinφ－3＝0.解得sinφ＝1或sinφ＝－35.sinφ＝1时，cosφ＝0(舍去)．sinφ＝－35时，cosφ＝±45.∴P的坐标为54，－34或－54，34.•考点三抛物线参数方程的应用•【例题3】连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．•思维导引：先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．解析：设M(x0，y0)为抛物线上的动点，P(x，y)为在OM的延长线上的点．抛物线的参数方程为x＝2t，y＝2t2，从而M(x0，y0)满足上述参数方程，即x0＝2t，y0＝2t2.又|OM|＝|MP|，∴x＝2x0＝4t，y＝2y0＝4t2，消去参数t得y＝14x2，即P点轨迹方程为y＝14x2⇒x2＝4y，它表示抛物线．【变式3】点P(1,0)到曲线x＝t2，y＝2t(其中t是参数，且t∈R)上的点的最小距离为()A．0B．1C．2D．2解析：因为点P(1,0)到曲线x＝t2，y＝2t(t∈R)上的点之间的距离为d＝x－12＋y－02＝t2－12＋2t2＝t2＋1≥1，故选B．B•考点四利用参数法求轨迹方程•在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，需要引入一个中间变量即参数，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．•思维导引：设出曲线C′的点A的参数形式，然后消去参数化为普通方程即可．【例题4】(2016·河南八市高三质检)已知曲线C的参数方程为x＝6cosθy＝4sinθ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换x′＝13x，y′＝14y得到曲线C′.(1)求曲线C′的普通方程；(2)若点A在曲线C′上，点D(1,1)，当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．解析：(1)将x＝6cosθ，y＝4sinθ代入x′＝13x，y′＝14y，得到曲线C′的参数方程为x′＝2cosθ，y′＝sinθ.∴曲线C′的普通方程为x24＋y2＝1.(2)设点P(x，y)，A(2cosφ，sinφ)则1＋2cosφ2＝x，sinφ＋12＝y⇒sinφ＝2y－1，cosφ＝2x－12，消去φ得：(2x－1)2＋4(2y－1)2＝4.•【变式4】设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．解析：设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝1tx，QF的方程为y＝－2tx－p2，它们的交点M(x，y)由方程组y＝1tx，y＝－2tx－p2确定，两式相乘，消去t后，得y2＝－2xx－p2.∴M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．当t＝0时，M(0,0)满足题意且适合方程2x2－px＋y2＝0，故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统