人教版数学选修44课件23直线的参数方程

参数方程第二讲•2.3直线的参数方程•2.1曲线的参数方程•2.1.1参数方程的概念与圆的参数方程栏目导航课前教材预案课堂深度拓展课后限时作业课末随堂演练•过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为_________________________课前教材预案•要点一直线的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)•要点二参数的几何意义直线的参数方程中参数t的几何意义是：参数t的绝对值表示参数t对应的点M到定点M0(x0，y0)的距离．当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取_______；当M0M―→与e反向时，t取_______；当点M与点M0重合时，t为_______．正数负数零课堂深度拓展•考点一直线参数方程的标准形式对直线参数方程的标准形式的认识(1)过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α＜π)，则x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)是直线参数方程的标准形式．(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是x＝x0＋at，y＝y0＋bt(a，b为常数，t为参数)．当a2＋b2＝1时，参数方程为标准形式，t表示有向线段M0M―→的距离M0M―→.当a2＋b2≠1时，t表示有向线段M0M―→的距离的1a2＋b2，即M0M―→＝a2＋b2t.•思维导引：求直线的参数方程首先确定定点，再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键在于消参．【例题1】(1)化直线l1：x＋3y－1＝0的方程为标准形式的参数方程(参数为t)，并说明t和t的几何意义；(2)化直线l2的参数方程x＝－3＋t，y＝1＋3t(t为参数)为普通方程，并说明t的几何意义．解析：(1)令y＝0，得x＝1，所以直线l1过定点(1,0)，斜率k＝－13＝－33，设倾斜角为α，tanα＝－33，α＝56π，∴cosα＝－32，sinα＝12.所以l1的参数方程为x＝1－32t，y＝12t(t为参数)．t是直线l1上定点M0(1,0)到直线上任意一点M(x，y)的有向线段M0M―→的数量，t表示直线l1上定点M0(1,0)到直线上任意一点M(x，y)的有向线段M0M―→的长度．(2)原方程变形为x＋3＝t，y－1＝3t，消去参数t得y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋33＋1＝0.将x＋3＝t，y－1＝3t两方程平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，所以t＝x＋32＋y－122，t的几何意义是点M0(－3,1)到直线上任意一点M(x，y)的距离M0M―→的一半．【变式1】(2016·东北三省联合高三模拟)已知直线l的参数方程为x＝m＋22t，y＝22t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，将左焦点F(－22，0)代入直线AB的参数方程，得m＝－22.直线AB的参数方程是x＝－22＋22t，y＝22t(t为参数)，代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，∴|FA|·|FB|＝2.(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(23cosα，2sinα)，(－23cosα，2sinα)，(23cosα，－2sinα)，(－23cosα，－2sinα)0＜α＜π2，所以椭圆C的内接矩形的周长为83cosα＋8sinα＝16sinα＋π3，当α＋π3＝π2，即α＝π6时椭圆C的内接矩形的周长取最大值16.•考点二直线与圆的位置关系•直线与圆锥曲线相交，求直线上的定点与两交点的距离问题，可利用直线参数方程标准形式中t的几何意义来求解．•思维导引：不用求出B，D的坐标，根据直线的标准参数方程中t的几何意义及根与系数的关系即可求出PB与PD.【例题2】(2016·湖北八校第二次联考)已知曲线C1的参数方程为x＝－1＋tcosα，y＝3＋tsinα(t为参数，0≤α≤π)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝22sinθ＋π4.(1)若极坐标为2，π4的点A在曲线C1上，求曲线C1与曲线C2的交点坐标；(2)若点P坐标为(－1,3)，且曲线C1与曲线C2交于B，D两点，求|PB|·|PD|.解析：2，π4对应的直角坐标是(1,1)，曲线C1的方程为x＋y－2＝0，曲线C2的方程为x2＋y2－2x－2y＝0，由x2＋y2－2x－2y＝0，x＋y－2＝0得交点坐标是(2,0)，(0,2)．(2)∵P在C1上，将x＝－1＋tcosα，y＝3＋tsinα.代入方程x2＋y2－2x－2y＝0得t2－4(cosα－sinα)t＋6＝0，设点B，D对应的参数分别为t1，t2.则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又t1t2＝6，∴|PB|·|PD|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝6.•思维导引：联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程，由Δ＝0即可求得．【变式2】(2016·湖北黄冈高三模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为x＝－1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数，α为直线的斜角)．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α大小．解析：(1)当α＝π2时，l：x＝－1，当α≠π2时，l：y＝(x＋1)·tanα，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x.(2)将x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x中整理得t2－4tcosα＋3＝0，由Δ＝16cos2α－12＝0得cos2α＝34，∴cosα＝32或cosα＝－32，∴直线l的倾斜角为π6或56π.•考点三直线与圆锥曲线的位置关系【例题3】(2016·鄂东南教改联盟模拟)直角坐标系中曲线C的参数方程为x＝4cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)经过点M(2,2)作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的中点，求直线l的斜率．•思维导引：可设出直线l的参数方程代入曲线C中，结合直线参数方程中参数的几何意义即得．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为x216＋y29＝1.(2)设直线l的参数方程为：x＝2＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)代入曲线C的方程中有(7sin2α＋9)t2＋(36cosα＋64sinα)t－44＝0设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－36cosα＋64sinα7sin2α＋9＝0，∴tanα＝－916，即直线l的斜率为－916.【变式3】已知直线l：x＝1＋12t，y＝3＋32t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－23ρsinθ＝a(a－3)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l有唯一公共点，求a的值．解析：(1)由ρ2－23ρsinθ＝a知其直角坐标方程为x2＋y2－23y＝a，即x2＋(y－3)2＝a＋3(a＞－3)．(2)将l：x＝1＋12t，y＝3＋32t代入曲线C的直角坐标方程得1＋12t2＋32t2＝a＋3，化简得t2＋t－a－2＝0.∵曲线C与直线l仅有唯一公共点，∴Δ＝1－4(－a－2)＝0，解得a＝－94.•考点四直线参数方程的综合应用•用直线参数方程解决弦长问题的方法•涉及直线与圆锥曲线的交点问题，一般是把直线的参数方程代入曲线方程去解决．利用参数t的几何意义去解决弦长的计算．•【例题4】过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点F(－1，0)作一直线交椭圆于A，B两点．•(1)求|AB|的最大值和最小值；•(2)求△AOB面积的最大值(O为椭圆中心)．•思维导引：写出直线的参数方程，利用t的几何意义来解决使运算更简便．解析：(1)设经过点F(－1,0)的直线的参数方程为x＝－1＋tcosθ，y＝tsinθ(t为参数，θ∈[0，π))，代入椭圆方程整理得(cos2θ＋2sin2θ)t2－2cosθ·t－1＝0，两实根t1，t2即为A，B两点对应的参数，且t1＋t2＝2cosθcos2θ＋2sin2θ，t1·t2＝－1cos2θ＋2sin2θ，∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝221＋sin2θ.∵0≤sin2θ≤1，∴2≤|AB|≤22，当θ＝π2时，|AB|min＝2，当θ＝0时，|AB|max＝22.(2)∵t1t2＝－1cos2θ＋2sin2θ＜0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＝t1sinθ，y2＝t2sinθ，S△AOB＝12|OF|·(|y1|＋|y2|)＝12×1·|t1－t2|·sinθ＝2sinθ1＋sin2θ＝21sinθ＋sinθ≤221＝22，当且仅当sinθ＝1时等号成立．∴△AOB面积最大值为22.【变式4】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x＝5cosθ，y＝5sinθθ为参数，0≤θ≤π2和x＝1－22t，y＝－22t(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为__________．(2,1)解析：因为0≤θ≤π2，所以曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)，把直线的参数方程代入，得到1－22t2＋－22t2＝5，且1－22t≥0，－22t≥0，即t2－2t－4＝0(t≤0)，所以t＝－2，此时x＝2，y＝1，所以曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)．课末随堂演练课后限时作业制作者：状元桥适用对象：高二学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshopcs3运行环境：WindowsXP以上操作系统