人教版高中数学选修11课件第2章圆锥曲线与方程2222

数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第2课时双曲线方程及性质的应用数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题．2．掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°，且与B相距4千米处，它们准备围捕海洋动物．某时刻A发现动物信号.4秒后B，C同时发现这种信号，设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1千米/秒，确定海洋动物的位置．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[提示]如图所示，取AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，易知A(3,0)，B(－3,0)，C(－5，23)，设动物所在位置为P，由于B，C同时发现动物信号，则有|PC|＝|PB|，因此P在线段BC的垂直平分线上，由B，C两点坐标可得线段BC的垂直平分线方程为3x－3y＋73＝0.由A，B两舰发现动物信号时间差为4秒，动物信号的传播速度是1千米/秒，知|PB|－|PA|＝4，数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴点P在双曲线x24－y25＝1的右支上．由方程组3x－3y＋73＝0，x24－y25＝1x≥2，解得x＝8，y＝53或x＝－3211，y＝15113(舍去)．∴P(8,53)，∴|AP|＝10，∠PAx＝60°.因此，海洋动物在舰A的北偏东30°，且离舰A10千米的位置．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与双曲线的位置关系及判定直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升位置关系公共点个数判定方法相交__________________________________相切_________________________相离_________________________2个或1个m＝0或m≠0，Δ01个m≠0且Δ＝00个m≠0且Δ0数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：|AB|＝1＋k2|x1－x2|或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升正确理解直线与双曲线位置关系及判定一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A．2B．4C．8D．42解析：双曲线x2－y2＝4的焦点为(±22，0)，把x＝22代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.答案：B数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m≥2或m≤－2B．－2≤m≤2且m≠0C．m∈RD．－2≤m≤2数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：由方程组y＝mx＋1，x2－y2＝1，消去y，整理得(1－m2)·x2－2mx－2＝0，若直线与双曲线总有公共点，则Δ＝8－4m2≥0恒成立，故m∈[－2，2]．答案：D数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a0)没有公共点，则a的取值范围为________．解析：由y＝ax，x2－y2＝a2得(1－a2)x2－a2＝0.①1－a2≠0，Δ＝0－41－a2·－a20，∴a1.②1－a2＝0时，方程无解，综上：a≥1.答案：a≥1数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．过双曲线x2－y23＝1的左焦点F1，作倾斜角为π6的弦AB，求|AB|的长．解析：双曲线焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，将直线AB方程：y＝33(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝12，x1x2＝－138.∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋13·122－4×－138＝3.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与双曲线的位置关系问题已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解，也就是消元后获得的一元二次方程有两解．两交点在同一支上，则说明两个交点的横坐标同号，即一元二次方程有两个同号根，两交点分别在两支上，则说明两个交点的横坐标异号，即一元二次方程有两个异号根．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)联立方程组y＝kx－1，x2－y2＝4，消去y得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意得，此方程有两个不等的正根，∴4k2＋201－k20，－2k1－k20，－51－k20，即－52k52，k1或－1k0，k1或k－1，解得1k52.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由y＝kx－1，x2－y2＝4得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意知此方程无解．则1－k2≠0，Δ＝4k2＋201－k20，得k52或k－52，则k的取值范围为k52或k－52.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题：直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点．但判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意：数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分；(2)直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分．故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．特别提醒：不能单纯使用Δ来判定直线与双曲线的位置关系，要看二次项系数能否为零．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．例题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求k的值．解析：联立方程组y＝kx－1，x2－y2＝4，得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由直线与双曲线只有一个公共点知方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0只有一个解．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升①当1－k2＝0，即k＝±1时，方程只有一解；②当1－k2≠0时，需满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，解得k＝±52，综上可知，k的值为±1或±52.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升中点弦已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]设直线方程―→列方程组――――→根与系数关系中点坐标公式列方程求待定系数―→结论数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)若直线斜率不存在，即P1P2⊥Ox，则由双曲线的对称性知弦P1P2中点在x轴上，不可能是点P(2，1)，所以直线l斜率存在．故可设直线l方程：y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.由2x2－y2＝2，y＝kx－2k＋1消y并化简，数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．当2－k2≠0即k2≠2时，有x1＋x2＝－2k2k－12－k2.又点P(2,1)是弦P1P2的中点，∴－k2k－12－k2＝2，解得k＝4.当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×50，数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当k2＝2即k＝±2时，此时，与渐近线的斜率相等，即k＝±2的直线l，与双曲线不可能有两个交点．综上所述，所求直线方程为y＝4x－7.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1＋x22＝1，y1＋y22＝1.∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且2x21－y21＝2，①2x22－y22＝2，②①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴y1－y2x1－x2＝2x1＋x2y1＋y2＝2.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴直线l的方程为y－1＝2(x－1)即y＝2x－1.由y＝2x－1，2x2－y2＝2，得2x2－4x＋3＝0Δ＝(－4)2－4×2×3＝－80.∴y＝2x－1不合题意(舍去)．∴不存在直线l使点Q为Q1Q2的中点．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)与弦中点有关的问题：①中点弦所在直线方程问题，如本例；②弦中点轨迹问题．(2)如何处理弦中点问题？①第(1)问，用待定系数法．设