人教版高中数学选修11课件第2章圆锥曲线与方程2322

数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第2课时抛物线方程及性质的应用数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法．2．会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与抛物线只有一个公共点时，当且仅当直线与抛物线相切，对吗？[提示]不对．直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与抛物线的位置关系及判断位置关系公共点判定方法相交__________公共点k＝0或k≠0Δ0相切______公共点Δ＝0相离_____公共点Δ0联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ一个或2个一个0个数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升有关弦长问题1．一般弦长设P1x1，y1，P2x2，y2|P1P2|＝1＋k2|x1－x2||P1P2|＝1＋1k2|y1－y2|2．焦点弦长若AB为抛物线y2＝2px(p0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|AF|＋|BF|＝___________.x1＋x2＋p数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对抛物线的焦半径与焦点弦的认识抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)焦半径|PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝p2－x0|PF|＝y0＋p2|PF|＝p2－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－(x1＋x2)AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－(y1＋y2)数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．过点(0，－1)的直线与抛物线x2＝－2y公共点的个数为()A．0B．1C．2D．1或2解析：因为点(0，－1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1个或2个．答案：D数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于()A．4pB．5pC．6pD．8p解析：由题意线段PQ即为焦点弦，∴|PQ|＝x1＋x2＋p.∵x1＋x2＝3p，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.答案：A数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋12＝0的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，∴x1＋x2＝4－12＝72，∴中点C(x0，y0)到直线x＋12＝0的距离为x0＋12＝x1＋x22＋12＝74＋12＝94.答案：94数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长．解析：方法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，所以直线AB方程为y＝x－1①数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升将方程①代入抛物线方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x.化简得x2－6x＋1＝0.解得x1＝3＋22，x2＝3－22.将x1，x2的值代入方程①中，得y1＝2＋22，y2＝2－22，即A，B的坐标分别是(3＋22，2＋22)，(3－22，2－22)．∴|AB|＝422＋422＝8.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：根据抛物线的定义，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离，即|AF|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，于是得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2.由上可知，x2－6x＋1＝0，故x1＋x2＝6.∴|AB|＝6＋2＝8.说明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程：y2＝2px(p0)，则焦点弦的计算公式：|AB|＝x1＋x2＋p.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法三：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·62－4×1＝8.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与抛物线位置关系问题当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？[思路点拨]联立方程组→讨论首项系数→讨论Δ符号→判断直线与抛物线的公共点个数数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与抛物线的位置关系是通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断的．由y＝kx＋k－2，y2＝4x，得k2x2＋2(k2－2k－2)x＋(k－2)2＝0.当k＝0时，方程退化为一次方程，－4x＋4＝0，该方程只有一解x＝1，原方程组只有一组解x＝1，y＝－2，∴直线y＝－2与抛物线只有一个公共点．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当k≠0时，二次方程的Δ＝4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2＝－16(k2－2k－1)，当Δ0时，得k2－2k－10,1－2k1＋2，∴当1－2k0或0k1＋2时．直线与抛物线有两个公共点，由Δ＝0得k＝1±2，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点，由Δ0得k1－2或k1＋2，此时直线与抛物线无公共点．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与抛物线的位置关系的研究方法研究直线与抛物线的位置关系，通常用代数法，即研究直线与抛物线有无公共点的问题就是由它们的方程组成的方程组有无实数解的问题，方程组有几组实数解，它们就有几个公共点；方程组没有实数解，它们就没有公共点，其中，当直线与抛物线只有一个公共点时，有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切，反映在代数上是一元二次方程的两根相等(根的判别式Δ＝0)．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升特别提醒：对于Δ的使用，应注意前提，即二次项系数不能为0，特别地，若二次项的系数含参数时应进行分类讨论，若系数等于0时方程有解，这时得到的直线与抛物线的对称轴平行．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．过点P(0,3)且与抛物线y2＝5x只有一个公共点的直线方程分别为________________．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：分斜率存在和不存在两种情况讨论．(1)斜率不存在时，过P(0,3)的直线方程是x＝0；(2)斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y＝kx＋3，与抛物线方程y2＝5x联立得方程组y＝kx＋3，y2＝5x，消去x得ky2－5y＋15＝0，当k＝0时，解得y＝3，当k≠0时，Δ＝(－5)2－4k×15＝0解得k＝512，代入直线方程得5x－12y＋36＝0，综上，所求直线方程是x＝0，y＝3,5x－12y＋36＝0.答案：x＝0，y＝3,5x－12y＋36＝0数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升中点弦问题过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程．[思路点拨]类比椭圆与双曲线，涉及弦中点问题，优先解法应是设而不求的“点差法”，而对于抛物线的弦中点问题更能体现出这种解法的优越性，当然本题使用中点坐标公式也不失为一种很好的解法．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：设以Q为中点的弦AB的端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝8x1，y22＝8x2，两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，∴k＝y2－y1x2－x1＝8y1＋y2＝4，∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.经检验所求4x－y－15＝0符合题意．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设弦AB所在的直线方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，由y＝kx－4＋1，y2＝8x消去x并整理，得ky2－8y－32k＋8＝0①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1＋y2＝8k，又∵Q是AB中点，∴y1＋y22＝1.∴8k＝2，∴k＝4，此时①中，Δ0.∴弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升关于中点的问题我们一般地可以利用“点差法”求出与中点、斜率有关的式子，进而求解，也可以采用设而不求的方法．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－p2，∵A(1，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴1＋p2＝3，∴p＝4∴此抛物线的方程为y2＝8x.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由y2＝8x，y＝kx－2消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同两点A，B，则有k≠0，Δ0，解得k－1且k≠0，又∵x1＋x2＝4k＋8k2＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)．∴所求k的值为2.数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与抛物线的综合应用已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．数学选修1-