人教版高中数学选修11课件第3章导数及其应用313

数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.1.3导数的几何意义数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．2．了解导函数的概念，会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间有什么关系？与f′(x0)有什么关系？数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[提示]割线AB的斜率kAB无限接近于曲线在点A处的切线的斜率k，k＝f′(x0)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．切线方程为______________________．导数的几何意义y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数y＝f(x)的导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个______的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称______)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.确定导数limΔx→0fx＋Δx－fxΔx数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)“导函数”：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)导函数也简称导数．所以数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率解析：由导数的几何意义知，选项C正确．答案：C数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→022＋Δx2－2×22Δx＝limΔx→08Δx＋2Δx2Δx＝8，故选C.答案：C数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知曲线y＝3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为____________．解析：∵ΔyΔx＝3x＋Δx2－3x2Δx＝6x＋3Δx，∴y′|x＝1＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.通过验证得点A(1,3)在曲线y＝3x2上．∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0.答案：6x－y－3＝0数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解析：∵点(－2，－1)在曲线y＝2x上，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝2x在点(－2，－1)处的导数．∴k＝f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升＝limΔx→02－2＋Δx－2－2Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在点P处的切线已知曲线y＝13x3上一点P2，83，如图所示．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)求曲线在点P处的切线的斜率；(2)求曲线在点P处的切线方程．[思路点拨]数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)因为y＝13x3，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013x＋Δx3－13x3Δx＝13limΔx→03x2·Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝13limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝x2，数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所以y′|x＝2＝22＝4，所以曲线y＝13x3在点P处的切线的斜率为4.(2)曲线y＝13x3在点P处的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线方程为________．解析：y′|x＝1＝f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx＝－1，则切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝0数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升过点P的切线求经过点(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．[思路点拨]设切点x0，y0→求曲线在x0，y0处切线方程→切线过，→得x0→得切线方程数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由y′|x＝x0＝limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝limΔx→0－ΔxΔx·x0＋Δx·x0＝limΔx→0－1x0x0＋Δx＝－1x20，4分故所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)，6分数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由点(2,0)在所求的直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线y＝1x上，得x0y0＝1，8分联立可解得x0＝1，y0＝1，10分所以直线方程为x＋y－2＝0.12分数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．直线l过点(2,2)且与曲线y＝x3－3x相切，求直线l的方程．解析：直线l过点(2,2)与曲线y＝x3－3x相切，设切点坐标为(a，b)，则f′(a)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0a＋Δx3－3a＋Δx－a3＋3aΔx＝limΔx→0Δx3＋3a·Δx2＋3a2－3ΔxΔx＝3a2－3.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴l的方程为y－b＝(3a2－3)(x－a)．又直线l过点(2,2)，∴2－b＝(3a2－3)(2－a)①又b＝a3－3a②解①，②得a＝2，b＝2或a＝－1，b＝2.∴l的方程为9x－y－16＝0或y＝2.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求切点坐标已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]设出切点坐标x0，y0→求出在该点处的导数→利用所给条件建立方程→求出切点的坐标解析：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，ΔyΔx→4x0，即f′(x0)＝4x0.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，∴切点的坐标为14，98.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，k·－18＝－1即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解此类问题的步骤：(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为()A．y＝9xB．y＝9x－26C．y＝9x＋26D．y＝9x＋6或y＝9x－26解析：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx3－3x0