人教版高中数学选修11课件第3章导数及其应用333

数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.3.3函数的最大(小)值与导数数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升假设函数y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图象，你认为此类函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？最大值及最小值与极值有什么关系？如何求函数的最值？数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]这三个函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？[提示1]能．[问题2]若y＝h(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？[提示2]不能．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有_______和________，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．函数的最大值与最小值最大值最小值数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行：1．当函数f(x)单调时：若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的_______，f(b)为函数的_________．函数最值的求法最小值最大值最大值最小值数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．当函数f(x)不单调时：(1)求y＝f(x)在(a，b)内的___值；(2)将y＝f(x)的各____值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．极极数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对函数最值的理解(1)在开区间(a，b)上，图象是一条连续不断的曲线的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数f(x)＝1x在(0，＋∞)内没有最大值也没有最小值；(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．给出下列四个命题：①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．其中真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．3个数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：①×当函数在闭区间上的端点处取得最值时，其最值一定不是极值②×③×函数在闭区间上的最值可在端点处取得，也可以在内部取得④×单调函数在开区间(a，b)内无最值答案：A数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为()A．－10B．－71C．－15D．－22数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.答案：B数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．f(x)＝x－lnx在区间(0，e]上的最小值为________．解析：f′(x)＝1－1x，令f′(x)＝0，得x＝1，当0x1时，f′(x)0；当1x≤e时，f′(x)0，所以最小值为f(1)＝1.答案：1数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解析：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数的最值求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值．[思路点拨]方法一：求f′x→令f′x＝0得到相应的x的值→列表→确定极值点→求极值与端点处的函数值→比较大小确定最值方法二：求f′x→求极值点→比较极值与端点值的大小确定最值数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法一：f′(x)＝－4x3＋4x，即f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3∴f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.解得：x＝－1或x＝0或x＝1.又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(1)＝4，f(2)＝－5.所以当x＝－3时，f(x)有最小值－60.当x＝±1时，f(x)有最大值4.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求解函数在闭区间上的最值．在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和区间端点的函数值；(3)比较极值与区间端点函数值的大小．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求函数f(x)＝x3－3x－1在区间[0,3]上的最大值、最小值．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)令f′(x)＝0得x1＝1，x2＝－1，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x0(0,1)1(1,3)3f′(x)－0＋f(x)－1极小值－317因此f(x)在区间[0,3]的最大值为17，最小值为－3.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知函数的最值求参数已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．[思路点拨]根据导数与单调性，导数与最值之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：依题意，显然a≠0.因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)若a0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)极大值数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)f(2)，所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)若a0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故f(2)f(－1)．所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.综上所述，所求a，b的值为a＝2，b＝2或a＝－2，b＝－29.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值并求f(x)在[－2,2]上的最大值．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)＋0－0f(x)－40＋a极大值a－8＋a∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，∴a＝3.∴当x＝0时，f(x)取到最大值3.数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升不等式恒成立问题已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]数学选修1-1第三章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升f′(x)＝4ax3lnx＋ax4×1x＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b).2分∵在x＝1处取得极值－3－c，∴f1＝－3－c，f′1＝0，即b－c＝－3－c，