人教版高中数学选修21课件本章归纳整合2

数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估知能整合提升数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．归纳三种圆锥曲线定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2＝2px(p0)数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估椭圆双曲线抛物线关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线无限延展，没有渐近线对称中心为原点无对称中心对称性两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e＝ca，且0e1e＝ca，且e1e＝1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2.待定系数法求圆锥曲线的标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)，其中当1A1B时，焦点在x轴上，当1A1B时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB0)，当A0时，焦点在y轴上，当B0时，焦点在x轴上．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如与已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估3．三法应对离心率(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估4．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估5．解轨迹问题的策略技巧(1)解决轨迹问题首先要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，如参数的选取、相关点的变化规律及限制条件等，注意将动点的几何特性用数学语言来表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(3)求轨迹方程的几种常用方法：①直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．②代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估③定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．④参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估热点考点例析数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估利用圆锥曲线的定义解题的策略(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．圆锥曲线的定义数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估已知椭圆上的两点P(3,4)，Q5，4310.(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆的两焦点为F1，F2，M为椭圆上一点，且∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．思维点击：(1)用待定系数法求椭圆方程．(2)利用椭圆定义和直角三角形面积公式求△F1MF2的面积．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(1)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)，则9A＋16B＝1，5A＋1609B＝1，解得A＝145，B＝120，∴椭圆的标准方程为x245＋y220＝1.(2)由题意知：|MF1|＋|MF2|＝65，①|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝100，②由①②解得|MF1|·|MF2|＝40，∴S△F1MF2＝12|MF1|·|MF2|＝20.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估1．已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝ca＝2，∴c＝2a.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12.∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程．重在考查基础知识，基本思想方法，属于低中档题目，其中对离心率的考查是重点．圆锥曲线的方程与性质的应用数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，直线l：x＝a2c(c为双曲线的半焦距的长)与两条渐近线交于P，Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e＝_____.思维点击：解答本题的关键是利用双曲线的性质和题目条件，建立a，b，c的关系，注意对△PQF这一特征三角形分析，可找到问题的突破口．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估由双曲线的对称性，知|PF|＝|QF|，又∵△PQF是直角三角形，∴∠PFQ＝90°，∠PFO＝45°.渐近线为y＝±bax.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估由题意知点P坐标为a2c，abc，∴abc＝c－a2c即a＝b，∴e＝ca＝2aa＝2.答案：2数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估2．如图，椭圆C1，C2与双曲线C3，C4的离心率分别是e1，e2与e3，e4，则e1，e2，e3，e4的大小关系是()A．e2＜e1＜e3＜e4B．e2＜e1＜e4＜e3C．e1＜e2＜e3＜e4D．e1＜e2＜e4＜e3数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：椭圆离心率为e，则e2＝1－b2a2，∴0＜e2＜e1＜1.双曲线的离心率为e′，则e′＝1＋b2a2.∴1＜e3＜e4.因此0＜e2＜e1＜1＜e3＜e4.答案：A数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．直线与圆锥曲线的位置关系主要有：直线与圆锥曲线的位置关系问题数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估已知椭圆x22＋y2＝1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求l被椭圆截得的弦的中点轨迹方程．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.由x212＋y21＝1，x222＋y22＝1.两式作差得：x2－x1x2＋x12＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，∴y2－y1x2－x1＝－x2＋x12y2＋y1＝－x02y0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估即kAB＝－x02y0.①(1)设弦中点为M(x，y)，由①式，2＝－x2y，∴x＋4y＝0.故所求的轨迹方程为x＋4y＝0(在已知椭圆的内部)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知能整合提升热点考点例析阶段质量评估(2)不妨设l交椭圆于A，B，弦中点为M(x，y)．由①式，kl＝kAB＝－x2y，又∵kl＝kMN＝y－2x－1，∴－x2y＝y－2x－1.整理得x2＋2y2－x－4y＝0，此式对l的方程为x＝1时也成立．∴所求中点轨迹方程是x2＋2y2－x－4y＝0(在已知椭圆的