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数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．通过生活和数学中的实例，理解全称量词和存在量词的含义．2．掌握全称命题和特称命题的定义并能够判断它们的真假．数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．下列语句是命题吗？(1)与(3)之间，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x＞3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x＞3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．[提示](1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．[提示](1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升全称量词和全称命题全称量词_______、_________、____、____符号∀全称命题含有_________的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为_____________所有的任意一个一切任给全称量词“∀x∈M，p(x)”数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对全称命题的理解(1)全称命题是陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某性质的命题，无一例外．(2)有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，如：“三角形的内角和为180°”是全称命题，因此在判断全称命题时要特别注意．(3)一个全称命题也可以包括多个变量，例如：对任意x∈R，y∈R，(x＋y)(x－y)0.数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升存在量词和特称命题存在量词________、__________、____、____符号表示∃特称命题含有________的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号记为_______________存在一个至少有一个有些有的存在量词“∃x0∈M，p(x0)”数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对特称命题的理解(1)特称命题中，x0相对于x有特指的意思，有时x0也写成x：“∃x∈M，p(x)”．(2)存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着特称命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则特称命题为真命题．若不存在，则为假命题．数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．下列命题中特称命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x0∈R，log2x00；③有的向量方向不确定．A．0B．1C．2D．3解析：①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．答案：D数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．下列命题：①存在x0，使|x|x；②对于一切x0，都有|x|x；③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．(填序号)解析：命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n0，对于任意n∈N＋，都有anbn，即an≠bn，故为真命题．④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．答案：①②③数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．判断下列命题哪些是全称命题，并判断其真假．(1)对任意x∈R，x20；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x－1}，使3x＋40；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．解析：(1)(3)(5)是全称命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的等差数列也是等比数列；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些实数a，b，能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)至少有一个实数x0，使x＝0；(6)所有的正方形都是矩形．思路点拨：先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．全称命题和特称命题的判定数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故是特称命题．(5)含有存在量词“至少”，故是特称命题．(6)含有全称量词“所有”，故是全称命题．数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：特别提醒：一个特称命题中也可以包括多个变量，例如存在α0∈R，β0∈R，使sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0.数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．判断下列语句是全称命题还是特称命题，并用量词符号表达出来．(1)0不能作除数；(2)任何一个实数除以1，仍等于这个实数；(3)每一个向量都有方向．解析：(1)特称命题，∃0∈R,0不能作除数；(2)全称命题，∀x∈R，x1＝x；(3)全称命题，∀a，a有方向．数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．(1)自然数的平方大于零；(2)圆x2＋y2＝r2上任意一点到圆心的距离是r；(3)存在一个无理数，它的立方是有理数；(4)存在两个相似三角形不全等．思路点拨：首先判断是全称命题还是特称命题，然后用符号表示．全称命题或特称命题用“∀”或“∃”表示数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)该命题省略了全称量词“任意一个”，因此可用符号表示为∀x∈N，x20.(2)设圆x2＋y2＝r2上任意一点的坐标为(x，y)，圆心的坐标为(0,0)，则该命题可用符号表示为∀(x，y)，x2＋y2＝r.(3)用符号表示为∃x0∈{无理数}，x30∈{有理数}．(4)用符号表示为∃△ABC∽△A′B′C′，△ABC≌△A′B′C′不成立．数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任意一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，p(x)成立④对某个x∈A，p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．(1)将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示．①有一个奇数不能被3整除；②每个三角形至少有两个锐角；③存在负数x，使得1x2；④若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.(2)用文字语言表述下列命题：①∀x∈R，x2≥0；②∃α∈R，sinα＝cosα.数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)①∃x∈{2n＋1，n∈Z}，x不能被3整除；②∀x∈{三角形}，x至少有两个锐角；③∃x0，使得1x2；④若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.(2)①a.对任意实数x，都有x2≥0；b．对所有实数x，都有x2≥0；c．对每一个实数x，都有x2≥0；②a.存在角α∈R，使sinα＝cosα成立；b．至少有一个角α，使sinα＝cosα成立；c．对于有些角α，满足sinα＝cosα.数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)存在常数T0，使sin(x＋T0)＝sinx；(4)有x0∈R，使x＋1＜0.思路点拨：举一反例否定，则全称命题为假；只要有一例成立，则特称命题为真．全称命题和特称命题的真假判断数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题.4分(1)∵ax＞0(a＞0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题.6分(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题.8分(3)y＝sinx是周期函数，2π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题.10分(4)对任意x∈R，x2＋1＞0.∴命题(4)是假命题.12分数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)全称命题的真假判断①要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需找到M中的一个元素x0，使得P(x0)不成立即可．②图表表示数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)特称命题的真假判断①要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题，即对于∀x∈M，p(x)都不成立．②图表表示数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)所有的对数函数都是单调函数；(2)对某些实数x，有2x＋10；(3)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(4)∃x0∈Q，x20＝3.数学选修2-1第一章常用逻辑用语自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，真命题．(2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题．(3)命题中含有全称量词的符号“∀”，因