人教版高中数学选修21课件第2章圆锥曲线与方程222第2课时

数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质第二课时直线与椭圆的位置关系数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质．2．掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长，中点弦等问题．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与圆的位置关系有相切、相离、相交．判断直线与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断，当d＝r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相交．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)代数法：由直线方程与圆的方程联立消去y得到关于x的方程．当Δ＝0时，直线与圆相切．当Δ0时，直线与圆相交．当Δ0时，直线与圆相离．你知道直线与椭圆的位置关系吗？[提示]相切、相离、相交．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消y得一个一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交___个___解Δ___0相切___个___解Δ___0相离___个___解Δ___02211＝00数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与椭圆位置关系及判定方法的理解(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程，由于该一元二次方程有无实数解，有几个与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ0、Δ＝0还是Δ0即可作出判断．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵点(2,3)在椭圆上，∴点(－2,3)，(－2，－3)，(2，－3)都在椭圆上．故选D.答案：D数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．直线x＋2y＝m与椭圆x24＋y2＝1只有一个交点，则m的值为()A．22B．±2C．±22D．±2数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：C解析：由x＋2y＝m，x2＋4y2＝4，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±22.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．如果椭圆x236＋y29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．解析：设此弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减，得x1＋x2x1－x236＋y1＋y2y1－y29＝0，数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝－12，即此弦所在直线斜率为－12.答案：－12数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．过点P(－1,1)的直线与椭圆x24＋y22＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得：x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，两式相减得：(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升显然x1≠x2，故由①得：kAB＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x22y1＋y2.因为点P是AB的中点，所以有：x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②把②代入①得：kAB＝12，故AB的直线方程是y－1＝12(x＋1)，即x－2y＋3＝0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由x－2y＋3＝0，x24＋y22＝1，消去y得：3x2＋6x＋1＝0.∴x1＋x2＝－2，x1x2＝13，|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋[kx1－x2]2＝1＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋14·243＝303数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与椭圆的位置关系已知直线y＝x＋m与椭圆x216＋y29＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m的取值范围．思路点拨：直线方程椭圆方程联立→消去y得关于x的一元二次方程→利用Δ0，Δ＝0，Δ0得相应结论数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由y＝x＋m，x216＋y29＝1得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝9×43(25－m2)．当Δ0，即－5m5时，直线和椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±5时，直线和椭圆相切；数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当Δ0，即m5或m－5时，直线和椭圆相离．综上所述，当m5或m－5时直线与椭圆相离；当m＝±5时，直线与椭圆相切；当－5m5时，直线与椭圆相交．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升直线与圆、椭圆等封闭曲线的位置关系有相离、相切、相交三种情形，判断直线与圆、椭圆的位置关系时，将直线方程代入曲线方程，消元后得关于x(或y)的方程，当二次项系数不为零时，可由判别式Δ来判断．当Δ0时，直线与曲线相交；当Δ＝0时，直线与曲线相切；当Δ0时，直线与曲线相离．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，求m的取值范围．解析：方法一：由y＝kx＋1，x25＋y2m＝1，消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立．∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立，∴1－m≤0，即m≥1.又椭圆的焦点在x轴上，∴0＜m＜5，∴1≤m＜5.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得0＜m＜5，025＋12m≤1，解得1≤m＜5.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升思路点拨：由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．中点弦问题过椭圆x216＋y24＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A，B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是(*)方程的两个根，数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴x1＋x2＝82k2－k4k2＋1.∵P为弦AB的中点，∴2＝x1＋x22＝42k2－k4k2＋1.解得k＝－12，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A，B在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，即kAB＝－12.∴所求直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升①－②：a2(y21－y22)＋b2(x21－x22)＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为3，若椭圆被直线x＋y＋1＝0截得的弦的中点的横坐标是－23，求椭圆的方程．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(0＜m＜n)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得x1＋x22＝－23，y1＋y22＝－13.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由y＝－x－1，mx2＋ny2＝1，可得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，x1＋x2＝－2nm＋n＝－43，即n＝2m.①∵2c＝3，∴