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数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质．2．了解双曲线的渐近线，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升双曲线是生活的缩影，如果把生活的点点滴滴投射至无色的纸张中，那么双曲线便是一件无法雕饰的艺术品，只有相对的实轴，没有绝对的虚轴．人生有太多捉不到回忆的遗憾，绝少完美．梦的延伸受着渐近线的控制，永远离不开追逐完美的羁绊．每段人生都会有一个焦点，美好的人生也好，悲惨的人生也罢，都会由这个焦点主宰着我们的生活，没有昨天和今天，只有未来和希望．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]双曲线的对称轴、对称中心是什么？[提示1]双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心是坐标原点．[问题2]双曲线的渐近线方程是什么？[提示2]焦点在x轴的渐近线方程为y＝±bax.焦点在y轴的渐近线方程为y＝±abx.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点______________焦距____范围______________________________性质对称性_______________________________(±c,0)(0，±c)2cx≥a或x≤－ay≥a或y≤－a关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)顶点______________轴长实轴长＝____，虚轴长＝____离心率e＝____性质渐近线________________(±a,0)(0，±a)2a2bcay＝±baxy＝±abx数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升_______和________等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线实轴虚轴数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升双曲线的离心率e对双曲线开口大小的影响双曲线的离心率e＝ca反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大，这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解．(以双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)为例)数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵ba＝c2－a2a＝e2－1(e1)，∴e越大，渐近线y＝±bax斜率的绝对值越大，即ba越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42解析：双曲线方程可化为x24－y28＝1，∴a2＝4，a＝2，则2a＝4，故选C.答案：C数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m＝()A．1B．2C．3D．4数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：D解析：方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为y219－x21m2＝1(m＞0)，则a＝13，b＝1m，取顶点0，13，一条渐近线为mx－3y＝0，所以15＝|－3×13|m2＋9，则m2＋9＝25，∵m＞0，∴m＝4.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升答案：23．已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a2－9b2＝1，c2＝a2＋b2＝4得a＝1，b＝3，∴e＝2.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝52；(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±32x.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，因为双曲线过点(3，－2)，则9a2－2b2＝1，①又e＝ca＝a2＋b2a2＝52，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝14，故所求双曲线的标准方程为x2－y214＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同理可得b2＝－172，不符合题意．综上知，所求双曲线的标准方程为x2－y214＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题意得2a＝6ba＝32，解得a＝3，b＝92.所以双曲线的标准方程为x29－y2814＝1；同理可得，当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y29－x24＝1.因此，所求双曲线的标准方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：渐近线方程为y＝±32x，变形得y3±x2＝0，由渐近线方程的推导过程可设双曲线的方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，当λ0时，由24λ＝6，解得λ＝94.此时，所求双曲线的标准方程为x29－y2814＝1；数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当λ0时，由2－9λ＝6，解得λ＝－1.此时，所求双曲线的标准方程为y29－x24＝1.综上，所求双曲线的标准方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程．已知双曲线方程求其几何性质思路点拨：双曲线方程――→化简变形双曲线的标准方程―→a，b，c的值―→结果数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：将方程9y2－16x2＝144化为标准方程y242－x232＝1，由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0,5)，渐近线方程为x＝±34y，即y＝±43x.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是：首先将双曲线方程化为标准形式x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1，确定a，b的值，进而求出c，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案，这里特别提出的是双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±bax，数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线为y＝±abx，应区分两双曲线的渐近线的异同．如果要求画出几何图形，首先画出两条渐近线和顶点，然后根据双曲线的变化趋势，便可画出双曲线的近似图形．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解析：将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升令y＝0，解得x＝±3，因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－13，0)，F2(13，0)．实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程y＝±bax＝±23x.作出草图(如图所示)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求适合下列条件的双曲线的标准方程：由双曲线的几何性质求标准方程(1)实轴长为8，离心率为54；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)；(3)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升思路点拨：(1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；(3)可以利用渐近线的方程进行假设，或者讨论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，2a＝8.由题意知ca＝54且c2＝a2＋b2，∴a＝4，c＝5，b＝3，∴标准方程为x216－y29＝1或y216－x29＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由2a＝2b得a＝b，∴e＝1＋b2a2＝2，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)方法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②由①②联立，无解．数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝ca布列关于a，b的方程(