人教版高中数学选修21课件第3章空间向量与立体几何313

数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律．2．能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5000kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°.(其中g＝10N/kg)[问题1]向量F1和－F2夹角为多少？[提示1]120°.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？[提示2]每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2∴|F|＝6|F0|∴|F0|＝500066×10＝250063×10＝2500063(N)．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间向量的夹角定义图示记法范围已知两非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则________叫做向量a，b的夹角_______________∠AOB〈a，b〉[0，π]数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果〈a，b〉＝，那么向量a，b_________，记作______.互相垂直a⊥b数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对空间向量夹角的认识(1)通常规定0≤〈a，b〉≤π，这样两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)作向量a与b的夹角时，必须使OA→，OB→为同起点的向量，例如：在正四面体ABCD中，〈AB→，AC→〉＝60°，而〈AB→，BC→〉＝120°.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝______.运算律分配律a·(b＋c)＝_________.λ(a·b)b·aa·b＋a·c数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升两个向量数量积的性质(1)若a,b是非零向量，则a⊥b⇔________.(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝______.(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝______.(4)|a·b|≤|a|·|b|.应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离或两直线所成角．(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直.a·b＝0a·aa·b|a|·|b|数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对空间向量的数量积的理解(1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零；(2)a·b＝0⇔a⊥b(a，b为非零向量)；(3)向量a，b的夹角〈a，b〉与点的坐标(a，b)不同；(4)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．下列各命题中，不正确的命题的个数为()①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.A．4B．3C．2D．1数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：命题①②③正确，④不正确．答案：D数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是()A.AB→与A′C′→B.AB→与C′A′→C.AB→与A′D′→D.AB→与B′A′→数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：〈AB→，A′C′→〉＝〈AB→，AC→〉＝45°，〈AB→，C′A′→〉＝180°－〈AB→，AC→〉＝135°，〈AB→，A′D′→〉＝〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，B′A′→〉＝180°.答案：B数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．设a⊥b，〈a，c〉＝π3，〈b，c〉＝π6，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________．解析：因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝1＋4＋9＋20＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a＋b＋c|＝17＋63.答案：17＋63数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：因为AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，所以AC21→＝(AB→＋AD→＋AA1→)2＝AB2→＋AD2→＋AA21→＋2(AB→·AD→＋AB→·AA1→＋AD→·AA1→)．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，AA1→〉＝〈AD→，AA1→〉＝60°，数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所以AC21→＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为AC21→＝|AC1→|2，所以|AC1→|2＝23，|AC1→|＝23，即AC1＝23.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：空间向量数量积的计算(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→.思路点拨：先用向量AB→，AD→，AA1→表示向量BC→，ED1→，BF→，AB1→，再代入数量积运算．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图所示，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)BC→·ED1→＝BC→·(EA1→＋A1D1→)＝b·12c－a＋b＝|b|2＝42＝16.(2)BF→·AB1→＝(BA1→＋A1F→)·(AB→＋AA1→)＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升此类问题通常是先用已知向量表示目标向量，然后再利用运算律和数量积定义计算．所谓已知向量就是模和夹角已知的向量．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，如图所示，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，求：(1)AB→·AC→；(2)AD→·BC→；(3)(AC→＋BC→)·(GF→＋EF→)．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：根据题意|AB→|＝|AC→|＝|AD→|＝1，〈AB→，AC→〉＝〈AC→，AD→〉＝〈AB→，AD→〉＝π3.(1)AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝1×1×cosπ3＝12；数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)同理可以求出AB→·AD→＝12，AC→·AD→＝12，所以AD→·BC→＝AD→·(AC→－AB→)＝AD→·AC→－AD→·AB→＝12－12＝0；数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)∵点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，所以GF→＝12CA→＝－12AC→，EF→＝12BD→＝12(AD→－AB→)，又∵BC→＝AC→－AB→，∴(AC→＋BC→)·(GF→＋EF→)＝(2AC→－AB→)·－12AC→＋12AD→－12AB→＝－AC→2＋AC→·AD→－12AC→·AB→－12AB→·AD→＋12AB→2＝－1＋12－14－14＋12＝－12.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1.用数量积解决夹角问题求cos〈CE→，AF→〉．思路点拨：首先求|CE→|，|AF→|，CE→·AF→，然后利用数量积的性质求余弦值．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵|CE→|＝C1E2＋CC21＝14＋1＝52＝|AF→|，∴CE→·AF→＝|CE→||AF→|cos〈CE→，AF→〉＝54cos〈CE→，AF→〉．又∵CE→＝CC1→＋C1E→，AF→＝AD→＋DF→，∴CE→·AF→＝(CC1→＋C1E→)·(AD→＋DF→)＝CC1→·AD→＋C1E→·AD→＋CC1→·DF→＋C1E→·DF→＝|CC1→||DF→|＝1×12＝12.∴cos〈CE→，AF→〉＝25.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)由公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解．(2)利用夹角公式求两条异面直线的夹角θ时，要注意cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|，这是因为异面直线的夹角为不大于90°的角．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：∵BA1→＝BA→＋BB1→，AC→＝AB→＋BC→，∴BA1→·AC→＝(BA→＋BB1→)·(AB→＋BC→)＝BA→·AB→＋BA→·BC→＋BB1→·AB→＋BB1→·BC→.又∵BA⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BA→·BC→＝0，BB1→·AB→＝0，BB1→·BC→＝0.又BA→·AB→＝－a2，∴BA1→·AC→＝－a2.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效