人教版高中数学选修21课件第3章空间向量与立体几何314

数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解空间向量基本定理及其意义，并能用基本定理解决一些几何问题．2．理解基底、基向量的概念，掌握空间向量的正交分解的意义．3．掌握空间向量的坐标表示，会确定一些简单几何体的顶点坐标．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市动物园往南500米，再往东400米处的某大厦12楼．行动小组迅速赶到市动物园，然后按标识顺利到达目的地，完成解救“人质”的任务．从标识中可以看出：确定市动物园的位置后，大厦的位置就随之确定，“人质”的隐藏地由“南500米”“东400米”“12楼”这三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]这三个向量能做为该空间的一组基底吗？[提示1]能．[问题2]能否用e1，e2，e3把人质的位置表示出来？[提示2]能．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升定理：如果三个向量a，b，c_________，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___________.其中__________叫做空间的一个基底，________都叫做基向量．空间向量基本定理不共面xa＋yb＋zc{a，b，c}a，b，c数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对空间向量基本定理的理解(1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底三个有公共起点O的___________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底空间直角坐标系以e1，e2，e3的________为原点，分别以__________的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它_______，使它的_______与原点O重合，得到向量OP→＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________.把_______称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作___________两两垂直公共点e1，e2，e3平移起点xe1＋ye2＋ze3x，y，zp＝(x，y，z)数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升建立空间直角坐标系的方法(1)建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如若找不到，要想办法去构造．(2)同一几何图形中，由于建立的空间直角坐标系不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但本质是一样的．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．答案：D1．已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且AB→＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A．(－1,1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不确定数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是()A．a,2b,3cB．a＋b，b＋c，c＋aC．a＋2b,2b＋3c,3a－9cD．a＋b＋c，b，c解析：－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0.答案：C数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于AC1→的表达式中：①AA1→＋A1B1→＋A1D1→；②AB→＋DD1→＋D1C1→；③AD→＋DD1→＋D1C1→；④12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→.正确的个数是________个．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：AB→＋DD1→＋D1C1→＝AB→＋DC1→＝AB→＋AB1→≠AC1→，②不正确；12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→＝12(AB1→＋BA1→)＋A1C1→＝AA1→＋A1C1→＝AC1→，④正确；①③明显正确．答案：3数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．如图所示，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA→＝a，OC→＝b，OP→＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：BF→，BE→，AE→，EF→.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：BF→＝12BP→＝12(BO→＋OP→)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE→＝BC→＋CE→＝－a＋12CP→＝－a＋12(CO→＋OP→)＝－a－12b＋12c.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升AE→＝AP→＋PE→＝AO→＋OP→＋12(PO→＋OC→)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF→＝12CB→＝12OA→＝12a.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升基底的判断已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，试判断{OA→，OB→，OC→}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD→＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由．思路点拨：判断{OA→，OB→，OC→}能否作为空间的一个基底，关键是判断OA→，OB→，OC→是否共面，解决该题可以采用反证法．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升假设OA→，OB→，OC→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使OA→＝xOB→＋yOC→成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，∴－3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1，此方程组无解，数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升即不存在实数x，y使OA→＝xOB→＋yOC→，∴OA→，OB→，OC→不共面．故{OA→，OB→，OC→}能作为空间的一个基底．设OD→＝pOA→＋qOB→＋zOC→，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵{e1，e2，e3}为空间的一个基底，∴p－3q＋z＝22p＋q＋z＝－1－p＋2q－z＝3，解之得p＝17q＝－5z＝－30，∴OD→＝17OA→－5OB→－30OC→.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升判断三个向量能否作为基底的方法判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有________．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：如图所示，设a＝AB→，b＝AA1→，c＝AD→，则x＝AB1→，y＝AD1→，z＝AC→，数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升a＋b＋c＝AC1→，由A，B1，C，D1四点不共面，可知x，y，z不共面，同理可得a，b，y；a，x，y和x，y，a＋b＋c也不共面．所以作为基底的向量组有②③④⑤.答案：②③④⑤数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间向量基本定理及应用如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，用基底向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→.思路点拨：OG→＝OM→＋MG→→OG→用OA→，MN→表示→OG→用OA→，OB→，OC→表示→结论．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→＝12OA→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋2312OB→＋OC→－12OA→＝12OA→＋13(OB→＋OC→)－13OA→＝16OA→＋13OB→＋13OC→，∴OG→＝16OA→＋13OB→＋13OC→.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用基底表示向量时，(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，试用向量OA→，OB→，OD→表示AE→.解析：由题意，可以作出如图所示的几何图形．在封闭图形ADOE中，有AE→＝AD→＋DO→＋OE→，①在△AOD中，AD→＝OD→－OA→.②数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升在△BOC中，OC→＝BC→－BO→，∵AD→＝BC→，∴OC→＝AD→＋OB→＝OD→－OA→＋OB→.又∵OE→＝12OC→，∴OE→＝12(OD→－OA→＋OB→)＝－12OA→＋12OB→＋12OD→.③数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升又DO→＝－OD→，④将②③④代入①可得，AE→＝(OD→－OA→)－OD→＋－12OA→＋12OB→＋12OD→＝－32OA→＋12OB→＋12OD→，∴AE→＝－32OA→＋12OB→＋12OD→.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间向量的坐标表示如图所示