人教版高中数学选修21课件第3章空间向量与立体几何322

数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.2立体几何中的向量方法3.2.2用向量方法求空间中的角数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线角、线面角、二面角的求法．3．正确运用向量法求异面直线的夹角．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？[提示1]设异面直线AC与BD所成角为θ，则cosθ＝|cos〈AC→，BD→〉|.[问题2]如何求斜线BD与地面所成角α？[提示2]设地面的法向量为n，则sinα＝|cos〈BD→，n〉|.[问题3]如何求水平地面与斜坡面所成的二面角β？[提示3]cosβ＝cos〈CA→，DB→〉．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间角的向量求法角的分类向量求法图形异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝___________＝________|cos〈a·b〉||a·b||a||b|数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升角的分类向量求法图形直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinφ＝|cos_______|＝_______〈a，n〉|a·n||a||n|数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升角的分类向量求法图形二面角若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，则二面角的大小就是AB→与CD→的夹角cosθ＝cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→|·|CD→|数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升角的分类向量求法图形二角面设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则______________＝|n1·n2||n1|·|n2||cos〈n1，n2〉|数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识：(1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹角范围是0，π2.(2)设AB→在平面α内的射影为A′B′→，且直线AB与平面α的夹角为θ，则|A′B′→|＝|AB→|·cosθ.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)平面α的法向量n与AB所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．(4)斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所成的角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．用向量法求二面角的步骤(1)寻求平面α，β的法向量u，v.(2)利用公式cos〈u，v〉＝u·v|u||v|，求出法向量u，v的夹角φ.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)根据u，v的方向，确定平面α，β所构成的二面角的大小θ：①当u，v的方向如图①所示时，θ＝φ；②当u，v的方向如图②所示时，θ＝π－φ.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知二面角α－l－β等于θ，异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于()A．θB．π－θC.π2－θD．θ或π－θ解析：应考虑0≤θ≤π2与π2θ≤π两种情况．答案：D数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是()A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不确定数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，则MP→·MN→＝(MB1→＋B1P→)·MN→＝MB1→·MN→＋B1P→·MN→＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.答案：A数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，∠ACB＝90°，则直线BC1与直线AB1所成的角的余弦值为________．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0，2,1)，可得向量AB1→＝(－2,2,1)，BC1→＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1→，BC1→〉＝－2×0＋2×2＋1×－10＋4＋1·4＋4＋1＝15＝55.答案：55数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0，0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1，∴BM⊥平面A1C1C，即BM→＝(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设平面A1B1C的一个法向量是n＝(x，y，z)，A1C→＝(－2,2，－2)，A1B1→＝(－2,0,0)，∴n·A1B1→＝－2x＝0，且n·A1C→＝－2x＋2y－2z＝0，令z＝1，解得x＝0，y＝1.∴n＝(0,1,1)，设法向量n与BM→的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∵cosθ＝|cosφ|＝|n·BM→||n||BM→|＝12，解得θ＝π3，∴二面角B1－A1C－C1的大小为π3.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求异面直线所成的角如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：异面直线BC与AE所成的角的大小．[思路点拨]建系→求点B，C，E坐标→求AE→，BC→的坐标→cosθ＝AE→·BC→|AE→||BC→|→求θ数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2，22，0)，E(1，2，1)，AE→＝(1，2，1)，BC→＝(0,22，0)．设AE→与BC→的夹角为θ，则cosθ＝AE→·BC→|AE→|·|BC→|＝42×22＝22，θ＝π4.由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求异面直线所成的角的两种方法(1)几何法①方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围．②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)向量法①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即cosθ＝|cosφ|.②关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且E1B1＝14A1B1，D1F1＝14D1C1，求BE1与DF1所成的夹角的余弦值．解析：方法一：(几何法)在A1B1上取点H使D1F1＝A1H，连接AH，易得：AH∥DF1，过H作HG∥BE1交AB于点G，那么∠AHG即为两条异面直线所成的夹角，cos∠AHG＝1517；数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：(基底法)设DD1→＝4a，D1F1→＝b，则|a|＝|b|且a⊥b，|DF1→|2＝|BE1→|2＝(4a)2＋b2＝17a2，DF1→·BE1→＝(4a＋b)(4a－b)＝15a2，cos〈BE1→，DF1→〉＝BE1→·DF1→|BE1→||DF1→|＝1517；数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法三：(坐标法)设正方体棱长为4，以DA→，DC→，DD1→为正交基底，建立如图所示空间坐标系D－xyz，数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升则B(4,4,0)，E1(4,3,4)，D(0,0,0)，F1(0,1,4)，∴BE1→＝(0，－1,4)，DF1→＝(0,1,4)，BE1→·DF1→＝15，cos〈BE1→，DF1→〉＝BE1→·DF1→|BE1→||DF1→|＝1517，即为所求．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角．思路点拨：方法一：几何法，作出A1B在平面A1B1CD内的射影，直接求解．求直线与平面的夹角数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升方法二：向量法．建系→求出相关点坐标→A1B→及平面A1B1CD的法向量n的坐标→sinθ＝|cos〈A1B→，n〉|→θ数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：方法一：连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角，设正方体的棱长为1，那么在Rt△A1OB中，A1B＝2，BO＝22，所以sin∠BA1O＝BOA1B＝12，∴∠BA1O＝30°.A1B与平面A1B1CD的夹角