人教版高中数学选修22课件第1章导数及其应用1112

数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升第一章导数及其应用数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解实际问题中平均变化率的意义．2．理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念．3．理解并掌握导数的概念．4．掌握求函数在一点处的导数的方法．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(形与数两方面)[提示1]曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]由点B上升到点C，必须考察yC－yB的大小，但仅仅注意yC－yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？[提示2]在考察yC－yB的同时必须考察xC－xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变．我们用比值yC－yBxC－xB近似地量化B，C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为[32,34]上的平均变化率．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为__________①平均速度；②曲线割线的斜率刻画函数值在区间_______上变化的快慢瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝________________①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率刻画函数值在____处附近变化的快慢fx2－fx1x2－x1[x1，x2]limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δxx0数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．关于函数的平均变化率，应注意以下几点(1)函数f(x)在x1处有定义．(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)在公式ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔyΔx＝0.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数y＝f(x)在x＝x0处的_______变化率称为函数y＝f(x)在__________处的导数，记作__________或__________，导数的概念瞬时x＝x0f′(x0)y′|x＝x0即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝_________________________.limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．对函数在某点处导数的认识(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41.答案：B数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81答案：B解析：ΔsΔt＝33＋Δt2－3×32Δt＝18＋3Δt，s′＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2.其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为________．答案：5米/秒解析：v＝limΔt→01－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32Δt＝limΔt→0(Δt＋5)＝5.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．解析：Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋11＋Δx＝2，从而y′|x＝1＝2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数的平均变化率求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[思路点拨]先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式计算．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2Δx＝6x0·Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求平均变化率的步骤：通常用“两步”法，一作差，二作商，即：①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)；②对所求得的差作商，即得ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解析：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝2＋12－1＋11＝12；数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5－f35－3＝5＋15－3＋132＝1415.因为121415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求物体的瞬时速度已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．[思路点拨]函数fx＝2x2＋1→函数值的改变量Δy＝fx0＋Δx－fx0→函数的平均变化率ΔyΔx→Δx趋于0→ΔyΔx趋于常数数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴ΔyΔx＝2Δx2x0＋ΔxΔx＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知：ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2×0.01＝8.02.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴ΔyΔx＝2Δx＋8，当Δx→0时，ΔyΔx→8.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率．2．求函数y＝f(x)在x＝x0处瞬时变化率的步骤：(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求函数的平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)当Δx趋近于0时，求ΔyΔx趋近的常数．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知自由下落物体的运动方程是s＝12gt2(s的单位是m，t的单位是s)，求：(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)物体在t0时的瞬时速度；(3)物体在t0＝2s到t1＝2.1s这段时间内的平均速度；(4)物体在t＝2s时的瞬时速度．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：(1)平均速度为ΔsΔt＝12gt0＋Δt2－12gt20Δt＝gt0＋12gΔt.(2)瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0gt0＋12gΔt＝gt0.(3)由(1)得物体在t0＝2s到t1＝2.1s这段时间内的平均速度为g×2＋12g×0.1＝4120g.(4)由(2)得物体在t＝2s时的瞬时速度为g×2＝2g.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数f(x)在某点处的导数已知f(x)＝x2＋3.(1)求f(x)在x＝1处的导数；(2)求f(x)在x＝a处的导数．[思路点拨]确定函数的增量定义法,ΔyΔx――→Δx→0极限―→导数数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)因为ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2＋3－12＋3Δx＝2＋Δx，2分f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.6分数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)因为ΔyΔx＝fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2＋3－a2＋3Δx＝2a＋Δx，8分f′(a)＝limΔx→0fa＋Δx－faΔx＝limΔx→0(2a＋Δx)＝2a.12分数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用导数定义求导数的三步曲：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记为：