人教版高中数学选修22课件第1章导数及其应用1512

数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．理解连续函数的概念，了解定积分的实际背景及“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．2．会用分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升观察图①和图②，其中阴影部分的面积可用梯形的面积公式来求，而图③中阴影部分有一边是曲线段．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题]如何求图③中阴影部分的面积呢？[提示]若把区间[a，b]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，近似地求出这些小曲边梯形的面积，分割的曲边梯形数目越多，所求得的面积越精确．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条__________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．连续函数连续不断数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．2．求曲边梯形面积的方法与步骤：(1)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些____________(如图②)；(2)近似代替：对每个小曲边梯形“__________”，即用________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的__________(如图②)；曲边梯形的面积小曲边梯形以直代曲矩形近似值数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值__________；(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，所有小曲边梯形的面积之和趋向一个_______，即为曲边梯形的面积．求和定值数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．曲边梯形面积的求解步骤(1)将区间[a，b]分割，等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx＝b－an；(2)“近似代替”中每个小区间上函数f(x)的值可任意取一点ξi∈[xi－1，xi]，用f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方便，可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；(3)limn→∞i＝1nb－anf(ξi)即为所求曲边梯形的面积．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么它在时间t所在的区间[a，b]内的路程(或位移)也可以运用(1)________；(2)__________；(3)_________；(4)__________的方法求得．求变速直线运动的路程分割近似代替求和取极限数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．汽车行驶的路程与曲边梯形的面积之间的关系求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边梯形的面积，所以求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积方法一样．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正确解析：作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．答案：C数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知汽车在时间[0，t1]内以速度v＝v(t)做直线运动，则下列说法不正确的是()A．当v＝a(常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝vt1B．当v＝at＋b(a，b为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s＝bt1＋12at21数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升C．当v＝at＋b(a≠0，a，b为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s＝bt1＋12at21D．当v＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s＝limn→∞sn＝limn→∞i＝1nv(ξi)Δt数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：对于v＝at＋b，当a＝0时为匀速直线运动，当a≠0时为匀变速直线运动，其中a0时为匀加速直线运动，a0时为匀减速直线运动，对于v＝at2＋bt＋c(a≠0)及v＝v(t)是t的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B是错误的．答案：B数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为________．解析：每个小区间长度为1－－1n＝2n.答案：2n数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．解析：f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝1n，在[xi－1，xi]＝1＋i－1n，1＋in上取ξi＝xi－1＝1＋i－1n(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升从而Sn＝i＝1nf(ξi)Δxi＝i＝1n2＋i－1n·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·nn－12＝2＋n－12n＝52－12n.则S＝limn→∞Sn＝limn→∞52－12n＝52.如下进行验证：数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图所示，由梯形的面积公式得：S＝12×(2＋3)×1＝52.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求曲边梯形的面积求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．[思路点拨]作出草图―→确定曲边梯形的形状―→分割―→近似代替―→求和―→取极限数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－1n把区间[0,1]等分成n个小区间：0，1n，1n，2n，…，i－1n，in，…，n－1n，nn，数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升简写作i－1n，in(i＝1,2，…，n)．每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：ξi在小区间i－1n，in上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－i－1ni－1n－1为其一边长，以小区间长度Δx＝1n为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－i－1ni－1n－1·1n(i＝1,2，…，n)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即S＝i＝1nΔSi≈－i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n－i－1ni－1n－1·1n数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－1n3·16n(n－1)(2n－1)＋1n2·nn－12＝－－n2＋16n2＝－161n2－1.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(4)取极限当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，此时－161n2－1趋向于S.从而有S＝limn→∞－161n2－1＝16.所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为16.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[a，b]中任意插入n－1个分点，将它等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2…，n)，区间[xi－1，xi]的长度Δxi＝xi－xi－1，第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限．特别提醒：最后所得曲边梯形的面积不是近似值，而是真实值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形的面积．解析：∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由y＝x2x≥0y＝4得交点为(2,4)，数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图先求由直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n等分，则Δx＝2n.取ξi＝2i－1n.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)近似代替求和Sn≈i＝1n2i－1n2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝831－1n1－12n.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)取极值S＝limn→∞Sn＝limn→∞831－1n1－12n＝83.∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－83＝163.∴2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形面积为323.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求变速运动物体的路程求自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效