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数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动第2课时排列的应用数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动自主学习新知突破数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．掌握常见的几种有限制条件的排列问题．2．能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的全部排法吗？[提示]甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙．实际上排法共有A33A22＝3种．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(1)特殊元素优先法：对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑_________元素，再考虑其他元素．(2)特殊位置优先法：对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑_________位置，再考虑其他位置．(3)相邻问题捆绑法：对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一起排列，然后再对_______元素内部进行排列．解决排列问题常用的方法特殊特殊捆绑数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(4)不相邻问题插空法：对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将________的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处．不相邻数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240答案：C解析：由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种解析：从5名志愿者中选2人排在两端有A25种排法，2位老人的排法有A22种，其余3人和老人排有A44种排法，共有A25A22A44＝960种不同的排法．答案：B数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动3．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．解析：因为good有两个相同字母，所以可能出现A44－3A22A22－1＝11种错误．答案：11数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动4．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第2步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动合作探究课堂互动数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动无限制条件的排列问题(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(2)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？[思路点拨](1)选出3个课题进行排列；(2)每个学习小组都选一个课题．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60种．(2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事．由分步乘法计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动答案：15解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动“在”与“不在”的问题6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨]数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)方法一(位置分析法)：因左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A25种；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A44种，由分步乘法计数原理共有A25·A44＝480种站法．方法二(元素分析法)：因甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A14种；第二步再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A55种，故共有A14·A55＝480种站法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动方法三(间接法)：在做排列时，我们对6个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，有A66种；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2A55种，于是共有A66－2A55＝480种站法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)方法一(特殊元素法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22种；再让其他4个人在中间4个位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种站法．方法二(特殊位置法)：首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有A22种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种站法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(3)方法一(间接法)：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有A44种，故共有A66－2A55＋A44＝504种站法．方法二(直接法)：以元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲站右端有A55种；第2类，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种站法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．(1)某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？(2)用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：①五位奇数；②大于30000的五位偶数．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：①数学排在最后一节，有A55种；②体育排在第一节，有A55种；但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)．故共有A66－2A55＋A44＝504种．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)①要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13440个没有重复数字的五位奇数；数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动②要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要得比30000大的五位偶数，可分两类：(ⅰ)末位数字从0,2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(ⅱ)末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．由分类加法计数原理，比30000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10752(个)．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动“相邻”与“不相邻”问题7人站成一排，(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨]元素相邻，可以视为一个元素，即将甲、乙或甲、乙、丙“捆绑”在一起，视为一个元素，与其他元素一起排列．至于不相邻问题，可以用“总”的排法减去“相邻”的排法，也可以用插空法解决．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A66种排法．甲、乙两人可交换位置，有A22种排法，故共有A66×A22＝1440种排法.3分(2)方法一(间接法)：7人任意排列，有A77种排法，甲、乙两人相邻的排法有A22×A66(种)，故甲、乙不相邻的排法有A77－A22×A66＝3600(种).6分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动方法二(插空法)：将其余5人全排列，有A55种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A26种排法．故共有A55×A26＝3600种方法.6分(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A55种排法，甲、乙、丙三人有A33种排法，共有A55×A33＝720种排法.9分(4)(插空法)将其余4人排好，有A44种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A35种排法．故共有A44×A35＝1440种排法.12分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]元素相邻和不相邻问题的解题策略限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空档中数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动3．4个男同学和3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有