人教版高中数学选修23课件131

数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1.3二项式定理1．3.1二项式定理数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动自主学习新知突破数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．3．能解决与二项式定理有关的简单问题．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[问题1]我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．[提示1](a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[问题2]你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？[提示2]因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b，若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动二项式定理及相关的概念二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crn·an－rbr＋…＋Cnn·bn二项式系数各项的系数_____(r＝0,1，…，n)二项式通项Tr＋1＝_______________CrnCrnan－rbr数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动对二项展开式的几点认识(1)二项展开式的特点①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时，字母b的指数由0递增到n；③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n.(2)易错点①通项Tr＋1＝Crnan－rbr指的是第r＋1项，不是第r项；②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610B．27C610C．－9C610D．9C610解析：x6的系数为C410·(－3)4＝9·C410＝9·C610.答案：D数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．二项式x－1x8的展开式中的第6项为()A．－28x12B．28x12C．－56x12D．56x12解析：T6＝C58x8－5－1x5＝－56x12.答案：C数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动3.x＋12x8的展开式中x2的系数为________．解析：利用二项展开式的通项公式求解．∵Tr＋1＝Cr8x8－r·12xr＝Cr82r·x8－2r.令8－2r＝2，得r＝3，∴x2的系数为C3823＝7.答案：7数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动4．求(3x＋32)100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数．解析：Tr＋1＝Cr100(3x)100－r·(32)r＝Cr100x100－r·3100－r2·2r3，依题意有100－r2，r3∈Z，所以r为3和2的倍数，即为6的倍数，数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由96＝0＋(n－1)×6得n＝17，故系数为有理数的共有17项.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动合作探究课堂互动数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动二项式定理的展开式求x－12x4的展开式．[思路点拨]解答本题先将x看成a，－12x看成b，利用二项式定理展开，也可以先将x－12x4化简后再展开．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动方法一：x－12x4＝C04(x)4－C14(x)3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.方法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．(1)求2x－32x25的展开式；(2)求3x＋1x4的展开式．解析：(1)方法一：2x－32x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4·－32x2＋C25(2x)3－32x22＋C35(2x)2－32x23＋C45(2x)－32x24＋C55－32x25＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动方法二：2x－32x25＝4x3－3532x10＝132x10(1024x15－3840x12＋5760x9－4320x6＋1620x3－243)＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)方法一：3x＋1x4＝(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)21x2＋C34(3x)·1x3＋C441x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动方法二：3x＋1x4＝3x＋1x4＝1x2(1＋3x)4＝1x2[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4]＝1x2(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝1x2＋12x＋54＋108x＋81x2.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动二项式定理的逆用化简：(1)1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn；(2)C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCnn.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨](1)共有n＋1项，(－2)按升幂排列符合二项式定理形式．(2)共有n＋1项，x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)原式＝C0n＋C1n(－2)1＋C2n(－2)2＋C3n(－2)3＋…＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1·(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Ckn(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元为a，再分析结构形式，则变得简单些．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．(1)设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等于()A．(x－2)4B．(x－1)4C．x4D．(x＋1)4(2)设n∈N*，则C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝________.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)S＝[(x－1)＋1]4＝x4.(2)C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝16(C0n＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n－1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n－1)．答案：(1)C(2)16(7n－1)数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动求二项展开式的特定项设(x－2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨]数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(x－2)n展开式的第二项与第四项分别为T2＝C1nxn－1·(－2)＝－2·nxn－1，2分T4＝C3nxn－3·(－2)3＝－22C3nxn－3.4分依题意得－2n－22C3n＝12，6分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动即n2－3n－4＝0，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝4.8分设(x－2)4展开式中含x2的项为第k＋1项，则Tk＋1＝Ck4x4－k(－2)k，10分由4－k＝2，得k＝2，即(x－2)4展开式中含x2的项为T3＝C24x2(－2)2＝12x2.12分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动3．(1)在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项(2)设二项式x－13x5的展开式中常数项为A，则A＝________.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)Tk＋1＝Ck20(32x)20－k－12k＝－22k·(32)20－kCk20·x20－k.∵系数为有理数，∴(2)k与220－k3均为有理数，∴k能被2整除，且20－k能被3整除．故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，∴k＝2,8,14,20.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)Tk＋1＝Ck5(x)5－k－13xk＝Ck5(－1)kx52－5k6，令52－5k6＝0，得k＝3，所以A＝－C35＝－10.答案：(1)A(2)－10数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动◎设(x－6)n的展开式中，第三项的系数为36，则x2项的系数为________．【错解】第三项的系数为C2n，依题意得C2n＝36，化简得n2－n－72＝0，可得n＝9，设(x－6)9的展开式中x2项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cr9x9－r(－6)r，由9－r＝2得r＝7，则(x－6)9的展开式中x2项为T8＝C79x2(－6)7＝－77766x2.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[提示]上面解答将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．【正解】(x－6)n的展开式的第三项为T3＝C2nxn－2(－6)2，所以C2n(－6)2＝36，即n2－n－12＝0，可得n＝4，设(x－6)4的展开式中x2项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cr4x4－r(－6)r，由4－r＝2得r＝2，即(x－6)4的展开式中x2项为C24x2(－6)2＝36x2.所以x2项的系数为3