人教版高中数学选修44课件22圆锥曲线的参数方程

二圆锥曲线的参数方程【自主预习】椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程圆锥曲线普通方程参数方程椭圆(ab0)_____________(φ为参数)2222xy1abxacosybsin，圆锥曲线普通方程参数方程双曲线(a0,b0)(φ为参数)抛物线___________(α为参数)2222xy1abxasecybtan，22pxtan2pytan，y2=2px(p0)【即时小测】1.参数方程(θ为参数)表示的曲线为()xcosy2sin，【解析】选B.由参数方程(θ为参数)得将两式平方相加,得x2+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.xcosy2sin，xcosysin2，，2y42.直线y=2x-与曲线(φ为参数)的交点坐标是________.12xsin,ycos2【解析】因为cos2φ=1-2sin2φ,所以曲线方程化为y=1-2x2,与直线y=2x-联立,解得:1213x,x,2217yy,22或由-1≤sinφ≤1,故不符合题意,舍去,则直线与曲线的交点坐标为答案:3x,27y211.22(，)1122(，)【知识探究】探究点圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么?提示:椭圆的参数方程中,参数φ的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角α区分开来,除了点M在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在0到2π的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等.但当0≤α≤时,相应地也有0≤φ≤,在其他象限内也有类似范围.222.抛物线y2=2px(p0)的参数方程(t为参数)中参数t的几何意义是什么?提示:由抛物线参数方程的推导过程可知,参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2x2pty2pt，【归纳总结】1.椭圆的参数方程中的参数φ与圆的参数方程中的参数θ意义的区别从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数φ是椭圆上的点M所对应的大圆的半径OA的旋转角,不是OM的旋转角,而圆的参数方程中的θ是半径OM的旋转角,椭圆参数方程中的φ称为点M的离心角.xacosybsin，xrcosyrsin，2.余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方程(1)定义.如图,已知点P(x,y)是角α的终边上异于原点的任一点(角α的始边是x轴的正半轴,顶点是坐标原点),其到原点的距离为|OP|=r,则分别叫做角α的余切函xrryxy，，数、正割函数、余割函数,表示为cotα={α|α≠kπ,k∈Z};secα={α|α≠kπ+k∈Z};cscα={α|α≠kπ,k∈Z}.r,yxy，rx，2，(2)双曲线(a0,b0)的参数方程为(α为参数,且α≠kπ+k∈Z)双曲线(a0,b0)的参数方程为(α为参数,且α≠kπ,k∈Z)2222xy1ab2，2222yx1abxbcotyacsc.，xasecybtan.，类型一椭圆的参数方程与应用【典例】已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为x2cos,y3sin,(2,)3，(1)求点A,B,C,D的直角坐标.(2)求曲线C1的普通方程,判断曲线形状.(3)设P为C1上任意一点,求的取值范围.2222|PA||PB||PC||PD|【解题探究】(1)典例(1)中如何求各点的直角坐标?提示:先求A点的直角坐标,由对称性求其余各点的坐标.(2)曲线C1的形状是什么?提示:将曲线C1的参数方程化为普通方程,是椭圆.(3)如何求距离平方和的取值范围?提示:利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题.【解析】(1)由曲线C2的极坐标方程ρ=2,可知曲线C2是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为故由对称性得,直角坐标分别为(2,)3，5B(2,)6，A(1,3),B(3,1），C(1,3),D(3,1).(2)由曲线C1的参数方程(φ为参数)得两式平方相加得所以曲线是焦点在y轴上的椭圆.x2cos,y3sin,xcos,2ysin,322xy1.49(3)由于点P为曲线C1上任意一点,得P(2cosφ,3sinφ),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=(2cosφ-1)2+(3sinφ-)2+(2cosφ+)2+(3sinφ-1)2+(2cosφ+1)2+(3sinφ+)2+x2cos,y3sin333(2cosφ-)2+(3sinφ+1)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ,因为32≤32+20sin2φ≤52,所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52].3【方法技巧】椭圆的参数方程应用技巧(1)椭圆的参数方程:中心在原点的椭圆的参数方程(θ为参数,ab0)常数a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴,焦点F(±c,0)在x轴上,其中a2=b2+c2.椭圆的参数方程也可以是(θ为参数,ab0)xacos,ybsin，xasin,ybcos.(2)与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决.【变式训练】1.椭圆(φ为参数)在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为________.x5cosy3sin，【解析】将椭圆的参数方程(φ为参数)化为普通方程为由a2=25,b2=9,得c2=a2-b2=16,所以c=4,椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为(4,0).答案:(4,0)x5cosy3sin，22xy1259，2.在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆上的动点,求S=x+y的最大值.22xy13【解析】椭圆的参数方程为(θ为参数)故可设动点P的坐标为(cosθ,sinθ),其中0≤θ2π.所以S=x+y=cosθ+sinθ=所以当时,S取得最大值,Smax=2.22xy13x3cosysin，，332sin(.3）6类型二双曲线的参数方程与应用【典例】已知等轴双曲线C的实轴长为2,焦点在x轴上.(1)求双曲线的普通方程和参数方程.(2)已知点P(0,1),点Q在双曲线C上,求的最小值.|PQ|【解题探究】(1)求典例中的普通方程和参数方程的思路是什么?提示:运用待定系数法,设普通方程为x2-y2=a2,求参数a的值,再化为参数方程.(2)如何求线段长度的最小值?提示:利用双曲线的参数方程转化为三角函数解决.【解析】(1)设等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=a2,依题意,得2a=2,所以a=1,所以x2-y2=1,化为参数方程为(φ为参数)xsecytan.，(2)因为点P(0,1),Q在双曲线C上,设Q(secφ,tanφ),则当且仅当tanφ=时,22PQsec(1tan)22sectan2tan122tan2tan2213362(tan).222212min6|PQ|.2【延伸探究】1.若本例条件不变,求双曲线C的焦点到渐近线的距离.【解析】由于等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=1,一个焦点为F(,0),一条渐近线方程为x-y=0,所以焦点到渐近线的距离为2d1.222.若本例条件变为:已知P(0,b),点Q在双曲线(ab0)上,如何求|PQ|的最小值?2222xy1ab【解析】由双曲线得参数方程为(φ为参数)则2222xy1(ab0),abxasec,ybtan,222|PQ|asecbbtan222222asecbtan2btanb2222ctan2btanc当且仅当时,2444422222bcbcbc(tan),ccc22btanc44min2cb|PQ|.c【方法技巧】双曲线的参数方程中的应用技巧(1)双曲线的参数方程(φ为参数)中,所以cosφ≠0,xasec,ybtan1seccos，所以φ≠kπ+k∈Z,这也与使tanφ有意义的φ的取值范围相一致.故我们通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π),且φ≠2，2，3.2(2)双曲线的参数方程中,常用的三角函数关系式为sin2φ+cos2φ=1⇒1+tan2φ==sec2φ⇒sec2φ-tan2φ=1.21cos【补偿训练】1.参数方程(φ为参数)表示曲线的离心率为________.x4tan,y3sec【解析】参数方程(φ为参数)即所以表示双曲线,其中c2=a2+b2=9+16=25,所以答案:x4tan,y3sec1xtan,41ysec,32222yxsectan1916，c5e.a3532.(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数)l与C相交于A,B两点,则|AB|=______.1xt,t1yt,t－【解题指南】先将极坐标方程ρ(sinθ-3cosθ)=0和曲线C的参数方程(t为参数)化成普通方程,再求解.1xt,t1yt,t－【解析】由ρ(sinθ-3cosθ)=0知,直线的方程是y=3x,由曲线C的参数方程为(t为参数)消去参数得,y2-x2=4,解方程组1xt,t1yt,t－22y3xyx4，－，得答案:232232A,,B(,,2222（）－－）22223232|AB|()()25.222225自我纠错等价转化求轨迹方程【典例】已知A,B是抛物线y2=2x上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB,并与AB相交于点M,求点M的轨迹.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因一是忽视了动点M不能到达原点导致求方程增解出错,另外,没有判断轨迹形状导致错误.正确解答过程如下:【解析】方法一:设M(x,y),由(2t1t2)2+22t1t2=0,因为A,B是抛物线上异于顶点的两动点,所以t1t2=-1.……………………①221122A2t,2tB2t,2t，，OAOBOAOB0，得，OMABOMAB0又，所以，所以x(t1+t2)+y=0,(x≠0)…………②又且A,M,B共线.所以2221212xtt2ytt0.12ytt.x211AMx2t,y2t，222MB2tx,2ty，221212x2t2tyy2t2tx，即y(t1+t2)-2t1t2-x=0.……………………………③将①②代入③,得到x2+y2-2x=0,由于动点M不能到达原点,故轨迹方程为x2+y2-2x=0(x≠0),所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点.方法二:设因为OA⊥OB,所以得y1y2=-4,直线AB的方程为2111yA(,y)y02，2222yB(,y)y02，221212yyyy022，21112y2yy(x)yy2，即所以直线AB过定点C(2,0),又OM⊥AB,所以点M的轨迹是以OC为直径的圆,则点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).所以动点M的轨迹是圆心在