人教版高中数学选修44课件23直线的参数方程24渐开线与摆线

三直线的参数方程四渐开线与摆线【自主预习】1.直线的参数方程已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参数方程分别为()2，普通方程参数方程___________________________(t为参数)y-y0=tanα(x-x0)00xxtcosyytsin，其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=____.0MM.2.圆的渐开线及其参数方程(1)定义.把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头_________,保持线与圆相切,_____的轨迹就叫做圆的渐开线,相应的_____叫做渐开线的基圆.离开圆周线头定圆(2)参数方程.设基圆的半径为r,圆的渐开线的参数方程是__________________________xrcossinyrsincos.（），（是参数）（）3.摆线及其参数方程(1)定义.当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做_______.无滑动地一个定点运动旋轮线(2)参数方程.设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程是_____________(φ是参数)xrsinyr1cos.（），（）【即时小测】1.下列点在直线(t为参数)上的是()A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,-2)D.(-3,2)【解析】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角为α.x3tcosy2tsin，2.经过点M(1,-3)且倾斜角为的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是________________.3【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是(t为参数)即为(t为参数)答案:(t为参数)3x1tcos3y3tsin3，，1x1t23y3t.2，1x1t23y3t.2，【知识探究】探究点直线的参数方程、渐近线与摆线1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?提示:设e表示直线向上方向上的单位向量,当参数t0时,与e同向;当参数t0时,与e反向;0MMt，e0MM0MM当参数t=0时,点M0,M重合.故总有所以参数t为点M0(x0,y0)到直线上点M(x,y)的有向线段的数量(即长度+方向),这就是参数t的几何意义.0MMt，0MM2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义吗?提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显的几何意义,如直线x-y=0的参数方程(t为参数)中的参数t就不具有明显的几何意义.x2ty2t，【归纳总结】由直线的参数方程中t的几何意义得出的两个结论(1)设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则(2)线段AB的中点所对应的参数值等于2BABAABABtttt4tt.＝＝ABtt.2类型一直线的参数方程的形式【典例】1.化直线l1的普通方程x+y-1=0为参数方程,并说明参数的几何意义,说明|t|的几何意义.2.化直线l2的参数方程(t为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明|t|的几何意义.3x3ty13t，【解题探究】1.典例1中直线的斜率和倾斜角分别是什么?提示:直线的斜率为倾斜角为2.典例2中直线的参数方程是标准形式吗?提示:不是直线的参数方程的标准形式.3k3，5.6【解析】1.令y=0,得x=1,所以直线l1过定点(1,0).设直线的倾斜角为α,所以直线l1的参数方程为13k33＝，35tan,,3631cos,sin,223x1t2t1yt.2，（为参数）t是直线l1上的定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段的数量.由①,②两式平方相加,得(x-1)2+y2=t2.|t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段的长.0MM3x1t21yt2，①，②22tx1y＝，0MM2.方程组变形为①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程可得倾斜角普通方程为x3t,y13t,①②y13x3，k3,tan3,,33xy3310.①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,所以|t|是定点M0(3,1)到t对应的点M(x,y)的有向线段的长的一半.22x3y1t,20MM【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧(1)已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的参数方程为(t为参数)①00xxtcos,yytsin.参数t的几何意义是有向线段的数量,其中e=(cosα,sinα).我们把①称为直线l的参数方程的标准形式.令a=cosα,b=sinα,则直线参数方程的标准形式可以是(t为参数,b≥0,a2+b2=1)②0MM0MMt，e00xxat,yybt.(2)如果直线的参数方程的一般形式为③可以通过转换00xxct,tc,dRyydt,（为参数，）2202222022cxx(cdt),cddyy(cdt).cd当d≥0时,令当d0时,令就可以把直线的参数方程化为标准形式②.222222cdtcdt,a,bcdcd；222222cdtcdt,a,b,cdcd【变式训练】1.(2016·成都高二检测)将曲线的参数方程(t为参数)化为普通方程为________.1x3t23yt2，【解析】由参数方程消去参数t,得答案:1x3t23yt2，12x3y3xy330.23，即3xy3302.下列参数方程中,哪些是直线的参数方程的标准形式?若是,求出直线经过的起点坐标和倾斜角,若不是参数方程的标准形式,转化为标准形式(其中,t为参数).11x1t,x1t,221233y2t.y2t.22（）（）【解析】是直线参数方程的标准形式,其中,起点坐标为(-1,2),倾斜角1x1t,213y2t2（）13cos,sin22，2.3(2)不是直线参数方程的标准形式,令t′=-t,得到标准形式的参数方程为(t′为参数)1x1t,23y2t21x1t,23y2t.23.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°.(1)写出直线l的参数方程.(2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.【解析】(1)因为直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°,故直线l的参数方程为即x3tcos120ty4tsin120,，（为参数）1x3t2t3y4t.2，（为参数）(2)方法一:由(1)得代入x-y+1=0,得解得t=0.故即交点坐标为(3,4).1x3t23y4t2，，133t4t1022，x3y4，，方法二:由(1)中直线的参数方程化为普通方程为由解得故两直线的交点为(3,4).1x3t2t3y4t2，（为参数）3xy3340，3xy3340xy10，，x3y4，，类型二直线的参数方程的综合题【典例】(2016·合肥高二检测)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.2x4t22yt2，x2cosy1sin，【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程?提示:消去参数即得曲线的普通方程.(2)如何求线段的长度?提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.【解析】(1)由曲线C1:消去参数t,得y=x+4,所以曲线C1表示一条直线.由曲线C2:消去参数θ得(x+2)2+(y-1)2=1,所以曲线C2表示以(-2,1)为圆心,1为半径的圆.2x4t22yt2，x2cosy1sin，(2)方法一:圆心C2(-2,1)到直线x-y+4=0的距离为所以|214|2d22，221|AB|2rd212.2方法二:将直线的参数方程C1:(t为参数)代入曲线C2:(x+2)2+(y-1)2=1,整理得:t2-3t+4=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=3,t1t2=4,所以2x4t22yt2，222121212AB|tt|tt4tt2．【延伸探究】1.若本例条件不变,P在曲线C2上,如何求△ABP面积的最大值?【解析】方法一:由上述得,曲线C2上的点P到直线距离的最大值为+1,所以△ABP面积的最大值为S=221212|AB|1212222()()21.2方法二:设曲线C2上的点P的坐标为(-2+cosθ,1+sinθ),点P到直线的距离为所以△ABP面积的最大值为max|2sin1||2cos1sin4|4d222122d22()，，1221S|AB|12222()2221.22()2.若本例条件变为直线C1:(t为参数,α∈[0,π))与曲线C2:(θ为参数)交于A,B两点,如何求|AB|的最大值?此时直线C2的普通方程是什么?x1tcosytsin，x2cosy1sin，【解析】方法一:直线C1:(t为参数,α∈[0,π))的普通方程为y=k(x+1),其中k=tanα,α≠,直线经过定点(-1,0),由直线与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=1的位置关系可知,直线经过圆心(-2,1)时,|AB|的最大值为直径,即|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,α=,直线的普通方程为x+y+1=0.x1tcos,ytsin234方法二:将直线C1:(t为参数,α∈[0,π))的参数方程代入(x+2)2+(y-1)2=1,整理,得(1+tcosα)2+(tsinα-1)2=1,t2+2(cosα-sinα)t+1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,x1tcosytsin，则t1+t2=-2(cosα-sinα),t1t2=1,所以当α=时,|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,直线的普通方程为x+y+1=0.2121212|AB||tt|tt4tt24(cossin)44sin22，34【方法技巧】1.利用直线的参数方程判断两直线的位置关系直线l1:直线l2:(1)l1∥l2⇔a1b2-a2b1=0(l1与l2不重合).(2)l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.1111xxattyybt，（为参数），2222xxattyybt.，（为参数）2.标准形式的参数方程中参数的应用经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为00xxtcostyytsin，（为参数），(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则向量的数量为t2-t1,所以=|t2-t1|,若P1,P2是直线l与某圆锥曲线的两个交点,则弦长|P1P2|=|t2-t1|.12PP12PP(2)若P1P2的中点