人教版高中数学选修44课件模块复习课第二课共59张PPT

第二课参数方程【网络体系】【核心速填】1.参数方程的定义在给定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数①并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,xftygt，那么方程组①就叫做这条曲线的_________,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数.参数方程2.常见曲线的参数方程(1)直线.直线的标准参数方程即过定点M0(x0,y0),倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程的标准形式为____________(t为参数)200xxtcosyytsin.，(2)圆.①圆x2+y2=r2的参数方程为____________(θ为参数)②圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为____________(θ为参数)xrcosyrsin.，xarcosybrsin.，(3)椭圆.中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆b2x2+a2y2=a2b2的参数方程为_________(φ为参数)xacosybsin.，(4)双曲线.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线b2x2-a2y2=a2b2的参数方程为___________(φ为参数)xasecybtan.，(5)抛物线.抛物线y2=2px(p0)的参数方程为__________(α为参数)或__________(t为参数)22pxtan2pytan，2x2pty2pt.，【易错警示】(1)直线的标准参数方程为(t为参数)①参数t的几何意义:即t为有向线段的数量,并注意t的正负值.00xxtcosyytsin，0MM②参数t的几何意义中有如下常用结论:(i)若M1,M2为直线上任意两点:M1,M2对应t的值分别为t1,t2,则|M1M2|=|t1-t2|.(ii)若M0为M1M2的中点,则有t1+t2=0.(iii)弦M1M2的中点为M,则M0M=tM=12tt.2(2)直线的参数方程的一般式(t为参数)只有当a2+b2=1且b0时,具有上述几何意义(若b0,方程也具有上述几何意义);当a2+b2≠0,且b0时,参数方程同样具有上述几何意义.00xxatyybt，，00xxat,yybt022022axxtabbyytab，(3)应用上述公式解题时,一定要区分直线的参数方程是否为标准形式,以免出现错误.类型一参数方程化为普通方程【典例1】把下列参数方程化成普通方程:(1)(θ为参数)(2)(t为参数,a,b0)xcos4sin,y2cossin.tttta(ee)x,2b(ee)y.2【解析】(1)由所以5x2+4xy+17y2-81=0.xcos4sin,y2cossin22y2xsin,9x4ycos,9y2xx4y()()1,99得即(2)由题意,得所以①2-②2得所以=1,其中x0.tttt2xee,a2yee.b①②22224x4y4ab＝，2222xyab【方法技巧】参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致,由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围,注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.(2)消除参数的常用方法有:①代入消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段.【变式训练】1.抛物线(t为参数)的准线方程是()A.x=1B.x=-1C.y=1D.y=-1【解析】选D.化参数方程为直角坐标方程,得x2=4y,其准线方程为y=-1.2x4ty4t，2.判断方程(θ是参数且θ∈(0,π))表示的曲线的形状.1xsinsin1ysinsin，【解析】两式平方相减得x2-y2=4,因为θ∈(0,π),所以x=sinθ+≥2,y=sinθ-=≤0,所以方程表示的曲线是等轴双曲线=1的右支在x轴及其下方的部分.1sin1sin2sin1sin22xy44类型二直线与圆的参数方程的应用【典例2】(2016·沈阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为x2cosysin，sin22.4()(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)动点A在曲线C上,动点B在直线l上,定点P(-1,1),求|PB|+|AB|的最小值.【解题指南】(1)利用sin2α+cos2α=1消去参数,可得曲线C的普通方程,根据即可得直线l在该直角坐标系下的普通方程.(2)作点P关于直线的对称点Q,利用|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1,仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,可求得最小值.xcos,ysin,【解析】(1)由曲线C的参数方程可得(x-2)2+y2=1,由直线l的极坐标方程为可得ρ(sinθ+cosθ)=4,即x+y=4.x2cosysin，sin22.4()(2)方法一:设P关于直线l的对称点为Q(a,b),故所以Q(3,5),由(1)知曲线C为圆,圆心C(2,0),半径r=1,|PB|+|AB|=|QB|+|AB|≥|QC|-1.a1b14,a3,22b1b511a1，()，仅当Q,B,A,C四点共线时,且A在B,C之间时等号成立,故(|PB|+|AB|)min=-1.26方法二:如图,圆心C关于直线l的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|AB|=|PB|+|BC|-1=|PB|+|BD|-1≥|PD|-1=-1.26【延伸探究】若本例的条件不变,圆心为C,如何在直线l上求一点B,使|PB|+|BC|取得最小值?求出最小值.【解析】如典例中的解析图可知,圆心C关于直线的对称点为D(4,2),连接PD,交直线l于点B,|PB|+|BC|=|PB|+|BD|≥|PD|=求得B的坐标为26.75,.33()【方法技巧】几何性质在求最大值或最小值中的应用(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值求法,常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题,常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.【变式训练】1.(2016·成都高二检测)已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的参数方程为(φ为参数),直线l的极坐标方程是ρ(cosθ+2sinθ)=15.若点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,则P,Q两点之间距离的最小值是()x3cosy2sin，A.10B.23C.25D.21【解析】选C.曲线C的参数方程为(φ为参数)的普通方程为=1,直线l:ρ(cosθ+2sinθ)=15的直角坐标方程是x+2y-15=0.因为点P,Q分别是曲线C和直线l上的动点,设P(3cosθ,2sinθ),P到直线的距离为d=x3cosy2sin，22xy94|3cos4sin15||5sin()15||10|25.5552.(2016·黄石高二检测)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求|MN|的最大值.3xt2,54yt5【解题指南】(1)利用公式将极坐标方程化为直角坐标方程.(2)将直线的参数方程化为普通方程,利用几何性质计算最大值.xcos,ysin【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y=-(x-2),令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1),半径r=1,则|MC|=.所以|MN|≤|MC|+r=+1.所以|MN|的最大值为+1.43555类型三直线与圆锥曲线的综合题【典例3】求椭圆=1上的点到直线l:x+2y-10=0的最小距离及相应的点P的坐标.22xy43【解析】设椭圆=1上的点P(2cosθ,sinθ),P到直线l:x+2y-10=0的距离为d=当且仅当sin(θ+)=122xy433|2cos23sin10|56|4sin()10|66,55即θ=时取等号,最小距离为此时点P(2cos,sin)，即P为所求.365.53333(1,)2【方法技巧】椭圆的参数方程以及应用长半轴为a,短半轴为b,中心在原点的椭圆=1(ab0)的参数方程为(θ为参数)椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用,通常将上述问题转化为三角函数的性质加以解决.2222xyabxacos,ybsin.【变式训练】1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.xtcos,ytsin10【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.222xy,cosx,siny,(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知:即整理得k2=,则k=±.226k102521k()，2236k901k4，531532.(2016·临汾高二检测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为3ρcosθ+2ρsinθ=12.x4costy23sint，，(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,M为曲线C与y轴负半轴的交点,求四边形OMAB的面积.【解析】(1)由所以=(cost)2+(sint)2=1.所以曲线C的普通方程为在3ρcosθ+2ρsinθ=12中,由ρcosθ=x,ρsinθ=y得3x+2y-12=0.所以直线l的直角坐标方程为3x+2y-12=0.xcostx4cost4yy23sintsint23，，得，22xy()()42322xy1.1612(2)由(1)可得M(0,-2),联立方程易得A(4,0),B(2,3),所以四边形OMAB的面积为×4×(3+2)=6+4.322xy116123x2y120，，1233类型四用参数法求轨迹方程【典例4】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k≠0)由l1⊥l2,则直线l2的方程为y-4=-(x-2),所以l1与x轴交点A的坐标为l2与y轴交点B的坐标为1k4(2,0)k，2(0,4)k，因为M为AB的中点,所以(k为参数)消去参数k,得x+2y-5=0.另外,当k=0时,l1与x轴无交点;当k不存在时,AB