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第一讲坐标系一、平面直角坐标系[学习目标]1.体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步骤．2.会运用坐标法解决实际问题与几何问题(难点)．3.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平面图形的变化情况及作用(重点)．[知识提炼·梳理]1．平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确定．2．坐标法根据几何对象的特征，选取适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法．3．伸缩变换设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．温馨提示①变换中的系数均为正数．②在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)建立了平面直角坐标系之后，坐标平面内的所有点组成的点集与有序数对(x，y)组成的集合{(x，y)|x∈R，y∈R}之间就建立了一一对应关系．()(2)点M(3，5)经过φ：3x′＝5x，5y′＝3y变换后得到点M′的坐标为(5，3)．()(3)若曲线C经过伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y变换后得到的曲线方程为x2－y2＝1，则曲线C的方程是4x2－9y2＝1.()(4)椭圆x216＋y29＝1经过伸缩变换φ变换后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x轴上．()解析：(1)正确．(2)将x＝3，y＝5代入3x′＝5x，5y′＝3y得x′＝5，y′＝3，故M′(5，3)，正确．(3)将x′＝2x，y′＝3y代入x′2－y′2＝1得4x2－9y2＝1，故变换前方程为4x2－9y2＝1也正确．(4)设伸缩变换φ：x′＝λx，y′＝μy，则当λ＝14，μ＝13时变换后的图形是圆x2＋y2＝1，当λ＝14，μ＝1时变换后的图形是椭圆x2＋y29＝1，此时焦点在y轴，(4)不正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是()A．圆B．抛物线C．两条平行直线D．两条相交直线解析：点的轨迹是第一、三象限的角平分线和第二、四象限的角平分线，为两条相交直线．答案：D3．在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换x′＝13x，y′＝2y后得到的直线方程为()A．3x－4y＋1＝0B．3x＋y－1＝0C．9x－y＋1＝0D．x－4y＋1＝0解析：由伸缩变换x′＝13x，y′＝2y得x＝3x′，y＝12y′，代入方程3x－2y＋1＝0，得9x′－y′＋1＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为9x－y＋1＝0.答案：C4．将点(2，3)变成点(3，2)的伸缩变换是________．答案：x′＝32x，y′＝23y5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝13cos2x按伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后变换为________．解析：由x′＝2x，y′＝3y得x＝12x′，y＝13y′.代入曲线y＝13cos2x，得y′＝cosx′，即y＝cosx.答案：y＝cosx类型1运用坐标法解决平面几何问题(自主研析)[典例1]已知ABCD，求证|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．证明：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，由平行四边形的性质可知D(b－a，c)，如图所示，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．归纳升华在平面图形上建立平面直角坐标系时，通常选取图形的对称中心为坐标原点、对称轴为坐标轴，或选互相垂直的直线为坐标轴，并且尽量使图形中的一些特殊点落在坐标轴上．坐标系建立得越恰当，各点坐标及各线的方程就越简单，运算量就越小．[变式训练]如图所示，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，连接DP，EF.求证：(1)DP⊥EF；(2)DP＝EF.证明：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设正方形边长为a，则A(0，0)，B(a，0)，C(a，a)，D(0，a)．设P(x，x)，则E(x，0)，F(a，x)，0xa.(1)因为kDP＝x－ax，kEF＝xa－x，所以kDP·kEF＝x－ax·xa－x＝－1，所以DP⊥EF.(2)因为|DP|＝（x－a）2＋x2＝2x2－2ax＋a2，|EF|＝（a－x）2＋x2＝2x2－2ax＋a2，所以|DP|＝|EF|，即DP＝EF.类型2伸缩变换(互动探究)[典例2]在平面直角坐标系下，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y.(1)求点A13，－2经过φ变换所得到的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换得到点B′－3，12，求点B的坐标．解：(1)设A′点的坐标为(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y得x′＝3x，y′＝12y.由于A13，－2，所以x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，所以A′(1，－1)即为所求．(2)设B点坐标为(x，y)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y得x＝13x′，y＝2y′.由于B′－3，12，可得B(－1，1)．归纳升华与伸缩变换相关的问题的处理方法1．已知变换前的曲线方程及伸缩变换，求变换后的曲线方程的方法：利用伸缩变换用(x′，y′)表示(x，y)，代入变换前的曲线方程．2．已知变换后的曲线方程及伸缩变换，求变换前的曲线方程：利用伸缩变换用(x，y)表示(x′，y′)，代入变换后的曲线方程．3．已知变换前后的曲线方程求伸缩变换的方法：将变换前后的方程变形，确定出(x′，y′)与(x，y)的关系即所求的伸缩变换，也可用待定系数法．[迁移探究1](变换条件，改变问法)(1)求直线l：2x＋4y＝1经过φ变换后所得的直线l′的方程；(2)经过φ变换后，曲线C为曲线C′：x′2＋y′2＝1，求曲线C的方程．解：(1)设直线l上任一点为P(x，y)，经过变换后的点为P′(x′，y′)．由x′＝3x，2y′＝y得x＝13x′，y＝2y′.代入2x＋4y＝1得23x′＋8y′＝1，即2x′＋24y′－3＝0.所以直线l′的方程为：2x′＋24y′－3＝0.(2)设曲线C上任一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的坐标为(x′，y′)，由x′＝3x，2y′＝y得x′＝3x，y′＝12y.代入x′2＋y′2＝1得9x2＋14y2＝1，即x219＋y24＝1，所以曲线C的方程为：x219＋y24＝1.[迁移探究2](变换条件，改变问法)求方程y＝sinx变为y′＝12sin4x′的伸缩变换公式．解：令变换公式为x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0.所以x＝1λx′，y＝1μy′，代入y＝sinx得1μy′＝sin1λx′.与y′＝12sin4x′比较知：λ＝14，μ＝12.所以x′＝14x，y′＝12y.所以变换公式x′＝14x，y′＝12y.类型3平面直角坐标系下的轨迹问题(规范解答)[典例3](本小题满分10分)如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．[规范解答]以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，(2分)失分警示：若漏掉建系说明或作图，各扣1分．则O1(－2，0)，O2(2，0)，设P(x，y)．(4分)由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，(8分)所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．(10分)2．建立适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标．在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系，并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．[变式训练]线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|＝4，求AB中点P的轨迹方程．解：法一以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，如图所示．设P(x，y)，由于△OAB是直角三角形，P为AB的中点，所以，|OP|＝12|AB|，则x2＋y2＝12×4，即x2＋y2＝4.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.法二建立直角坐标系，同法一．设P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)，则x21＋y22＝16.①又P为AB的中点，所以x1＝2x，y2＝2y.代入①，得4x2＋4y2＝16.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.1．建立直角坐标系的原则．在建立直角坐标系的过程中，要先研究所给图形的对称性．若是轴对称图形，一般选取对称轴为坐标轴；若是中心对称图形，一般以对称中心为原点；若存在两条互相垂直的直线，一般以这两条直线为坐标轴．总之，在建立直角坐标系时，原则上是使尽可能多的点在坐标轴上，有对称的尽可能使它们关于坐标轴或原点对称．2．在求动点P的轨迹方程时，用几何性质求解比用代数方法简单．3．伸缩变换对图形的影响．(1)由伸缩变换公式x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0知，当0λ1时，原图形以原点为中心，沿x轴向两侧拉伸到原来的1λ倍；当λ1时，沿x轴向两侧缩短到原来的1λ，其中纵坐标不变．(2)在伸缩变换过程中，图象与y轴的交点是不动点．(3)在伸缩变换过程中，每个点随着坐标的伸缩而移动，整个图形就发生相应的伸缩变换．(4)因为伸缩变换把直线变成直线，所以伸缩变换把多边形变成边数一致的多边形．伸缩变换不能实现曲线段与直线段的互变，换句话说，它不能把圆变成正方形.