人教版高中数学选修44课件第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

第一讲坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介[学习目标]1.了解刻画空间中点的柱坐标和球坐标(重点)．2.了解柱坐标及球坐标与直角坐标间的变换公式(重点)．3.通过介绍柱坐标系与球坐标系，对坐标系有一个完整的认识，能更好地体会和理解坐标思想(难点)．[知识提炼·梳理]1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫作柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫作点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ2π，z∈R．(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为_______________．x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z温馨提示柱坐标系又称半极坐标系，它由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫作球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)，叫作点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ2π．(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为_________________．x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ温馨提示在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ为高低角．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)点M的直角坐标为(1，－3，4)，则点M的柱坐标为2，5π3，4.()(2)点N的柱坐标为2，7π6，－1，则点N的直角坐标为(－3，－1，－1)．()(3)点S的直角坐标(1，0，－1)化为球坐标为2，π4，0.()(4)点t的球坐标2，3π4，5π4化为直角坐标为(－1，1，－2)．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的()A．球B．球面C．圆D．直线解析：设方程r＝2的解在空间对应点P的球坐标为P(2，φ，θ)，直角坐标为P(x，y，z)．则x＝2sinφcosθ，y＝2sinφsinθ，z＝2cosφ，所以|OP|＝x2＋y2＋z2＝4sin2φcos2θ＋4sin2φsin2θ＋4cos2φ＝2.所以P点的轨迹是以原点为球心，2为半径的球面．答案：B3．点P的柱坐标是4，5π4，3，则其直角坐标为()A．(22，22，3)B．(－22，22，3)C．(－22，－22，3)D．(22，－22，3)解析：x＝ρcosθ＝4cos5π4＝－22，y＝ρsinθ＝4sin5π4＝－22，故其直角坐标为(－22，－22，3)．答案：C4.如图所示，正方体OABC-O1A1B1C1中，棱长为1.(1)在柱坐标系中，点B1的坐标为________________．(2)在球坐标系中，点C1的坐标为________________．解析：(1)易知ρ＝|OB|＝2，θ＝∠AOB＝π4，z＝|BB1|＝1，故点B1的柱坐标为2，π4，1.(2)易知r＝|OC1|＝2，φ＝∠O1OC1＝π4，θ＝∠AOC＝π2，故点C1的球坐标为2，π4，π2.答案：(1)2，π4，1(2)2，π4，π25．已知点M的直角坐标为(1，2，3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝________，tanθ＝________．解析：如图所示，tanφ＝x2＋y2z＝53，tanθ＝yx＝2.答案：532类型1柱坐标、球坐标的确定(自主研析)[典例1]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，如右图所示，建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴．(1)求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标；(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐标．解：(1)点C1的直角坐标为(1，1，1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ2π，由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ得ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr.所以ρ＝2，tanθ＝1及r＝3，cosφ＝33.结合图得θ＝π4，由cosφ＝33得tanφ＝2.所以点C1的直角坐标为(1，1，1)柱坐标为2，π4，1，球坐标为3，φ，π4，其中tanφ＝2，0≤φ≤π.(2)同理可求得点C的直角坐标为(1，1，0)，柱坐标为2，π4，0，球坐标为2，π2，π4，点D的直角坐标为(0，1，0)，柱坐标为1，π2，0，球坐标为1，π2，π2.归纳升华将点M的直角坐标(x，y，z)化为柱坐标(ρ，θ，z)或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z及x＝rsinφcosθ，yy＝rsinφsinθ，z＝rcosφ进行逆向变换，得到ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0），z＝z及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr.在用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值；若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值范围即可．[变式训练]如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的边长AB＝63，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．解：如题图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1，点C1的(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠BAC、CC1，点C1的(r，φ，θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.所以点C1的空间直角坐标为(63，6，12)，点C1的柱坐标为12，π6，12，点C1的球坐标为122，π4，π6.类型2直角坐标与柱坐标的互化(互动探究)[典例2](1)已知点M的直角坐标为(1，1，1)，求点M的柱坐标；(2)已知点N的柱坐标为2，3π4，2，求点N的直角坐标．解：(1)由公式ρ2＝1＋1＝2，ρ＝2，tanθ＝yx＝1，且角θ的终边经过点(1，1，0)，所以θ＝π4，所以点M的柱坐标为2，π4，1.(2)设点P的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，因为(ρ，θ，z)＝2，3π4，2，由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z得x＝2cos3π4，y＝2sin3π4，z＝2，即x＝－1，y＝1，z＝2.所以点2，3π4，2的直角坐标为(－1，1，2)．归纳升华(1)直角坐标化为柱坐标时，利用公式ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）求解，即直角坐标为(x，y，z)的点的柱坐标为(ρ，θ，z)＝(x2＋y2，θ，z)，其中角θ由tanθ＝yx及θ角终边经过的点(x，y，0)确定．(2)柱坐标化为直角坐标时，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ求解，即柱坐标为(ρ，θ，z)的点的直角坐标为(ρcosθ，ρsinθ，z)．[迁移探究](变换条件)(1)设点M的直角坐标为(1，1，3)，求它的柱坐标；(2)设点N的柱坐标为2，5π6，3，求它的直角坐标．解：(1)由变换公式，得ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，ρ＝2，tanθ＝yx＝11＝1，θ＝π4(点M在第一象限)．因此点M的柱坐标为2，π4，3.(2)设点的直角坐标为(x，y，z)．因为(ρ，θ，z)＝2，5π6，3，所以x＝ρcosθ＝2cos5π6，y＝ρsinθ＝2sin5π6，z＝3，即x＝－3，y＝1，z＝3.所以点2，5π6，3的直角坐标为(－3，1，3)．类型3球坐标与直角坐标互化(互动探究)[典例3](1)将点A的直角坐标(1，1，2)化为球坐标；(2)将点B的球坐标4，π3，π4化为直角坐标．解：(1)设点A的球坐标为(γ，φ，θ)．由(x，y，z)＝(1，1，2)，得r＝x2＋y2＋z2＝4＝2.由z＝rcosφ(0≤φ≤π)，得cosφ＝zr＝22得φ＝π4；又tanθ＝1，且θ(0≤θ2π)角的终边过点(1，1)，得θ＝π4.所以点A的直角坐标(1，1，2)化为球坐标为2，π4，π4.(2)因为(r，φ，θ)＝4，π3，π4，所以x＝rsinφcosθ＝4sinπ3cosπ4＝6，y＝rsinφsinθ＝4sinπ3sinπ4＝6，z＝rcosφ＝4cosπ3＝2.所以点B4，π3，π4的直角坐标为(6，6，2)．归纳升华1．(1)直角坐标化为球坐标的公式为：r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr（0≤φ≤π），tanθ＝yx（x≠0，0≤θ2π），(2)直角坐标(x，y，z)化为球坐标的步骤为：先求OP＝r＝x2＋y2＋z2，再求φ，最后求θ，将球坐标表示为(r，φ，θ)．2．球坐标化为直角坐标的公式为：x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ.球坐标(r，φ，θ)的直角坐标为(x，y，z)＝(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ)．[迁移探究](变换条件)(1)设点A的直角坐标为(－1，－1，2)，求它的球坐标；(2)设点B的球坐标为2，3π4，5π4，求它的直角坐标．解：(1)设点A的球坐标为(r，φ，θ)，则r＝x2＋y2＋z2＝（－1）2＋（－1）2＋（2）2＝2，又2＝2cosφ，故cosφ＝22，φ＝π4，又tanθ＝－1－1＝1，θ的终边过点(－1，－1，0)，故θ＝5π4.故点A的球坐标为2，π4，5π4.(2)因为(r，φ，θ)＝2，3π4，5π4，所以x＝rsinφcosθ＝2sin3π4cos5π4＝－1，y＝rsinφsinθ＝2sin3π4sin5π4＝－1，z＝rcosφ＝2cos3π4＝－2.所以点B2，3π4，5π4的直角坐标为(－1，－1，－2)．1．空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，表示为(ρ，θ，z)．因此，在求空间一点P的柱坐标时，先确定P在xOy平面上的射影Q的极坐标(ρ，θ)，它的柱坐标中的z与空间直角坐标系的z相同．2．求空间一点P的球坐标，先求|OP|＝r，再求OP与Oz轴正方向所夹的角φ，设OP在平面Oxy上的射影为OQ，则Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，则点P的球坐标确定为(r，φ，θ)．注意球坐标的排列顺序：①r(P到原点的距离)；②φ(OP与z轴正方向所夹的角)；③θ(OP在面Oxy内的射影与x轴正方向成的角)．3．在多种坐标系并存的情况下，通常统一到直角坐标系中去研究．